北京市西城区北京师大实验中学2020-2021学年高二（下）期中考试数学试题（原卷全解析版）免费下载

北京市西城区 北京师大实验中学 2020-2021 学年高二（下）期中考试 数 学 I 卷 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1 ．（ 5 分）数列 ， ， ， ， 的一个通项公式为 　　 A ． B ． C ． D ． 2 ．（ 5 分）求函数 的导数 　　 A ． B ． C ． D ． 0 3 ．（ 5 分）数列 满足 ， ，则 等于 　　 A ． B ． C ． 2 D ． 3 4 ．（ 5 分）函数 的单调递增区间是 　　 A ． B ． C ． D ． 5 ．（ 5 分）用数学归纳法证明 ， 时，第一步应验证不等式 　　 A ． B ． C ． D ． 6 ．（ 5 分）已知数列 的通项公式 ，记 为数列 的前 项和，若使 取得最小值，则 　　 ) A ． 5 B ． 5 或 6 C ． 10 D ． 9 或 10 7 ．（ 5 分）设三次函数 的导函数为 ，函数 的图象的一部分如图所示，则正确的是 　　 A ． 的极大值为 ，极小值为 B ． 的极大值为 ，极小值为 C ． 的极大值为 ，极小值为 （ 3 ） D ． 的极大值为 （ 3 ），极小值为 8 ．（ 5 分）已知函数 ， ，当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为 　　 A ． B ． C ． D ． ， 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9 ．（ 5 分）等比数列 中，已知 ， ，则 　　 ． 10 ．（ 5 分）已知函数 的极大值为 5 ，则实数 　　 ． 11 ．（ 5 分）各项都为正数的等差数列 中， ，则 　　 ． 12 ．（ 5 分）数列 的前 项和 ，则 　　 ． 13 ．（ 5 分）若曲线 在点 ， （ 2 ） 处的切线过点 ，则实数 的值为 　　 ． 14 ．（ 5 分）数列 满足 ， ，实数 为常数． ① 数列 有可能是常数列； ② 时，数列 为等差数列； ③ 若 ，则 的取值范围是 ； ④ 时，数列 单调递减． 则以上判断正确的序号是 　　 （写出符合条件的所有序号） 三、解答题（本大题共 3 小题，共 30 分 . 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15 ．（ 10 分）已知等差数列 满足： ，且 、 、 成等比数列． （ 1 ）求数列 的通项公式． （ 2 ）记 为数列 的前 项和，是否存在正整数 ，使得 ？若存在，求 的最小值；若不存在，说明理由． 16 ．（ 10 分）已知函数 且在 及 处取得极值． （ 1 ）求 ， 的值； （ 2 ）求函数 在 ， 上的最大值与最小值的差． 17 ．（ 10 分）已知函数 ． （ 1 ）当 时，求函数 的单调区间； （ 2 ）是否存在实数 ，使函数 在 上单调递增？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由． I I 卷 四、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 18 ．（ 5 分）已知函数 ， ，则 的单调递减区间为 　　 ． 19 ．（ 5 分）数列 中，若 ， ，则 　　 ． 20 ．（ 5 分）已知实数 ， ， ， 成等比数列，对于函数 ，当 时取到极大值 ，则 　　 ． 21 ．（ 5 分）等比数列 中， ， ， 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 ， ， 中的任何两个数不在下表中的同一列，则数列 的通项公式 　　 ． 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 22 ．（ 5 分）设数列 与 的通项公式分别为 ， ，令 ，则 　　 ，数列 的前 项和 　　 ． 23 ．（ 5 分）记 ， 分别为函数 ， 的导函数．若存在 ，满足 且 ，则称 为函数 与 的一个 “ 点 ” ． （ 1 ）以下函数 与 存在 “ 点 ” 的是 　　 ． ① 函数 与 ； ② 函数 与 ； ③ 函数 与 ． （ 2 ）已知 ， ，若函数 与 存在 “ 点 ” ，则实数 的取值范围为 　　 ． 五、解答题（本大题共 2 小题，共 20 分 . 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 24 ．（ 10 分）已知 是等差数列，记 为数列 的前 项和，且 ， ． （ 1 ）求数列 的通项公式； （ 2 ）若 是单调递增的等比数列，且 ， ，求 ． 25 ．（ 10 分）已知函数 ． （ 1 ）求函数 的极小值； （ 2 ）若对任意的 ， ，有 成立，求实数 的取值范围； （ 3 ）证明： ． 2021 北京师大实验中学高二（下）期中数学 参考答案 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1 ．【分析】根据被开方数的特点即可求出． 【解答】解：数列 ， ， ， ， 即为 ， ， ， ， ， 则发现被开方数成等差数列， 即其中一个通项公式为 ， 故选： ． 【点评】本题考查了通过数列的前几项归纳数列的通项公式，主要考查了归纳能力和推理能力，属于基础题． 2 ．【分析】根据题意，分析可得 为常数，则函数 为常数函数，求出其导数即可得答案． 【解答】解：根据题意， 为常数，则函数 为常数函数， 则 ； 故选： ． 【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式． 3 ．【分析】直接利用数列的递推关系式求出数列的周期，进一步求出结果． 【解答】解：数列 满足 ， ， 当 时，解得 ， 当 时，解得 ， 当 时，解得 ， 当 时，解得 ， ． 故数列的周期为 3 ． 故 ． 故选： ． 【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的应用，数列的周期，主要考查学