北京市海淀区北京八一学校2021-2022高二（下）期中数学试题（原卷全解析版）免费下载

北京市海淀区 北京八一学校 2021- 2 022 学期 高二 下学期 期中 考试 数 学 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ 一、单选题 1 ．已知复数 z ＝－ 1 ＋ 2i ，则复数 z 的虚部为（         ） A ． -1 B ． 1 C ． -2 D ． 2 2 ．等差数列 满足 ，则 的公差为（         ） A ．－ 4 B ．－ 1 C ． 1 D ． 4 3 ．函数 的导数为（         ） A ． B ． C ． D ． 4 ．在 的展开式中，下列说法正确的有（         ） A ．所有项的系数和为 0 B ．所有项的二项式系数和为 64 C ．存在常数项 D ．第 4 项和第 5 项的系数相等 5 ．如图所示，是函数 的图象与其在点 P 处的切线，则等于（         ） A ．－ 2 B ． 0 C ． 2 D ． 4 6 ．已知等比数列 满足 ， ，则（         ） A ．数列 是等差等列 B ．数列 是等差数列 C ．数列 是递减数列 D ．数列 是递增数列 7 ．已知函数 是定义域为 R 上的可导函数，则 “ 在 处取得极值 ” 是 的（         ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8 ．已知数列 的通项公式为 ．若数列 的前 n 项和为 ，则 取得最大值时 n 的值为（         ） A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5 9 ．函数 的定义域为 R ，其导数的部分图象如图所示，则下面结论 不正确 的是（         ） A ．在 上函数 为增函数 B ．在 上函数 为减函数 C ．在 上函数 有极小值 D ．在 上函数 必有最大值 10 ．若数列 满足 ， 为其前 n 项和，则下列命题正确的是（         ） A ． B ． C ． 有最小值 D ． 无最大值 二、填空题 11 ．已知函数 f ( x ) ＝ ，则 ＝ ________. 12 ．等比数列 中， ， ，其前 n 项和为 ，若 ，则 m ＝ ______ ． 13 ．已知函数 ，若过点 存在 2 条直线与曲线 相切，请写出满足条件的一个 t 值： ______ ． 14 ． 2022 年 4 月 16 日，搭载着翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员的神舟十三号载人飞船返回舱，结束了长达半年的 “ 太空出差 ” ，在东风着陆场预定区域成功着陆．为了宣传航天员的精神品质，某班班会安排 4 名同学讲述这三位航天员的事迹，要求每位学生只讲述一位航天员，每位航天员至少有 1 名学生讲述，且同学甲讲述王亚平事迹，则共有 ______ 种不同的安排方案． 三、双空题 15 ．已知函数 ．若 a <0 时，函数 在 上有 ______ 个零点；若 有且只有一个零点 ，且 ，则实数 a 的取值范围是 ______ ． 四、解答题 16 ．已知函数 ． (1) 求函数 在点 处的切线方程； (2) 求函数 在 上的最值． 17 ．已知等差数列 满足 ， ，数列 满足 ． (1) 求数列 的通项公式； (2) 求证数列 为等比数列； (3) 记 为数列 的前 n 项和，求数列 的前 n 项和．（用 n 表示） 18 ．已知函数 ， ． (1) 当 a ＝ 1 时，求函数 的单调递增区间； (2) 求函数 的极值点； (3) 当 a >0 时，判断函数 的零点个数，并说明理由． 19 ．对于数列 ，若存在正整数 M ，同时满足如下两个条件： ① 对任意 ，都有 成立； ② 存在 ，使得 ．则称数列 为 数列． (1) 若 ， ，判断数列 和 是否为 数列，并说明理由； (2) 若 数列 满足 ， ，求实数 p 的取值集合． 参考答案 1 ． D 【解析】 【分析】 根据复数实部、虚部的概念直接得出结果 . 【详解】 由 z =-1+2i 知， 复数 z 的虚部为 2. 故选： D. 2 ． B 【解析】 【分析】 根据题意，结合等差数列的通项公式，列出方程组，即可求解 . 【详解】 设等差数列 的公差为 ， 因为 ，可得 ，解得 ， 即等差数列 的公差为 . 故选： B. 3 ． B 【解析】 【分析】 根据导数运算法则和常见函数的导数公式求导即可 . 【详解】 因为常数的导数为 ， 的导数为 ， 所以 . 故选： B. 【点睛】 本题主要考查导数的求导公式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平 . 4 ． A 【解析】 【分析】 结合二项展开式的系数与二项式系数的性质，以及展开式的通项公式，逐项判定，即可求解 . 【详解】 对于 A 中，令 ，可得 ，即展开式中所有项的系数和为 ，所以 A 正确； 对于 B 中，根据二项式系数的性质，可得展开式中二项式系数之和为 ，所以 B 错误； 对于 C 中，由二项展开式的通项为 ，其中 ， 令 ，解得 ，因为 ，所以展开式中不存在常数项，所以 C 错误； 对于 D 中，展开式的第 4 项的系数为 ，第 5 项的系数为 ，所以第 4 项和第 5 项的系数不相等，所以 D 错误 . 故选： A. 5 ． B 【解析】 【分析】 求得切线的斜率，得到 ，再有切线方程求得 ，即可求解 . 【详解】 由题意，切线经过点 ，可得切线的斜率为 ，即 ， 又由切线方程为 ，令 ，可得 ，即 ， 所以 . 故选： B. 6 ． B 【解析】 【分析】 利用等差数列和等比数列的定义求解判断 . 【详解】 解：因为等比数列 满足 ， ， 则 ， 故数列 是以 1 为首项，以 2 为公比的等比等列，故 A 错误； 则 ， 故数列 是以 0 为首项，以 -1 为公差的等差数列，故 B 正确； 由 A 知： 。故数列 是递增数列，故 C 错误； 由 B