北京市西城区北京师大附中2020-2021学年高二（下）期中考试数学试题（原卷全解析版）免费下载

北京市 西城 区北京 师大附中 2020-2021 学年高二（下）期中考试 数 学 一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1 ．（ 3 分）直线 y ＝ x +1 的倾斜角是（　　） A ． B ． C ． D ． 2 ．（ 3 分）如果直线 3 x ﹣ y ＝ 0 与直线 mx + y ﹣ 1 ＝ 0 平行，那么 m 的值为（　　） A ．﹣ 3 B ． C ． D ． 3 3 ．（ 3 分）圆（ x +1 ） 2 + （ y ﹣ 2 ） 2 ＝ 1 与 x 轴的位置关系是（　　） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定 4 ．（ 3 分） “ m ＝ n ” 是 “ 方程 mx 2 + ny 2 ＝ 1 表示圆 ” 的（　　） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5 ．（ 3 分） 1765 年，数学家欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的 “ 欧拉线 ” ．已知 △ ABC 的顶点 B （﹣ 1 ， 0 ）， C （ 0 ， 2 ），且 | AB | ＝ | AC | ＝ 4 ，则 △ ABC 的欧拉线方程为（　　） A ． 2 x ﹣ 4 y ﹣ 3 ＝ 0 B ． 2 x +4 y +3 ＝ 0 C ． 4 x ﹣ 2 y ﹣ 3 ＝ 0 D ． 2 x +4 y ﹣ 3 ＝ 0 6 ．（ 3 分）设 O 为坐标原点，点 A （ 1 ， 0 ），动点 P 在抛物线 y 2 ＝ 4 x 上，且位于第一象限， M 是线段 PA 的中点，则直线 OM 的斜率的取值范围为（　　） A ．（ 0 ， 1] B ．（ 0 ， 1 ） C ．（ 1 ， +∞ ） D ． [1 ， +∞ ） 7 ．（ 3 分）数学家华罗庚曾说： “ 数缺形时少直观，形少数时难入微． ” 事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与 相关的代数问题，可以转化为点 A （ x ， y ）与点 B （ a ， b ）之间的距离的几何问题．结合上述观点，可得方程 的解是（　　） A ． B ． C ． D ． 8 ．（ 3 分）在化学课上，你一定曾注意到，当装有液体的试管稍微倾斜一点时，液面的轮廓是椭圆形的．即用平面 α 截圆柱面，当圆柱的轴与 α 所成角为锐角时，圆柱面的截线是 一一个 椭圆．著名数学家 Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于 α 的上方和下方，两球分别和 α 相切于 F 1 ， F 2 两 点，并且都与圆柱面相切．给出下列四个结论： ① 过截线上的任意一点 P 作圆柱的母线，分别与两球相交于 M ， N ，则 | MN | 为所得椭圆的长轴长； ② F 1 ， F 2 两 点是所得椭圆的两个焦点； ③ 若球心距 | O 1 O 2 | ＝ 4 ，球的半径为 1 ，则所得椭圆的焦距为 ； ④ 当圆柱的轴与 α 所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大． 其中，所有正确结论的序号是（　　） A ． ①② B ． ②③ C ． ①②③ D ． ①②③④ 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 9 ．（ 3 分）抛物线 x 2 ＝ 4 y 的焦点坐标是 　 　 ；准线方程为 　 　 ． 10 ．（ 3 分）双曲线 的实轴长是 　 　 ，渐近线方程是 　 　 ． 11 ．（ 3 分）写出一个离心率为 的双曲线的标准方程 　 　 ． 12 ．（ 3 分）已知抛物线 C ： y 2 ＝ 8 x 上一点 M 到焦点的距离为 3 ，那么点 M 到 y 轴的距离为 　 　 ． 13 ．（ 3 分）已知圆 C ： x 2 + y 2 ＝ 4 与圆 D ： x 2 + y 2 ﹣ 4 x +2 y +4 ＝ 0 相交于 A ， B 两点，则两圆公共弦线所 在的直线方程为 　 　 ，公共 弦 AB 的长为 　 　 ． 14 ．（ 3 分） 2020 年 12 月， “ 嫦娥五号 ” 月球探测器首次实现从月球无人采样返回，这标志着中国航天又向前迈出一大步．我校航天社团利用计算机模拟探测器某段飞行轨迹，如图，探测器在环月椭圆轨道上运动，月球的球心为椭圆的一个焦点，探测器在近月点 “ 制动 ” 后，进入距离月球表面 n 千米的环月圆形轨道．已知两轨道相切于近月点，远月点到月球表面的最近距离为 m 千米，月球半径为 r 千米，则椭圆轨道的长轴长为 　 　 ；离心率为 　 　 ． 15 ．（ 3 分）如图，在正方体 ABCD ﹣ A 1 B 1 C 1 D 1 中， P 是底面 ABCD 内一动点． （ 1 ）若 P 到直线 AA 1 与直线 BC 的距离相等，则动点 P 的轨迹所有在的曲线是 　 　 ． （ 2 ）若 P 到直线 AA 1 与 与 平面 A 1 B 1 C 1 D 1 的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是 　 　 ． 16 ．（ 3 分）数学史上，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为 “ 卡西尼曲线 ” ．卡西尼是法国天文学家，他在 1675 年研究土星及其卫星的运行规律时，发现了这种类型的曲线，为纪念他对土星研究的贡献，美欧在 1997 年合作发射的土星探测器就是以他的名字命名的．设卡西尼曲线 C 的两定点为 F 1 （﹣ 1 ， 0 ）和 F 2 （ 1 ， 0 ），常数为 a （ a ＞ 0 ）．给出下列四个结论． ① 曲线 C 一定过原点； ② 曲线 C 一定关于坐标轴对称； ③ 当且仅当 a ≥1 时曲线 C 上存在到 F 1 ， F 2 距离相等的点； ④ 曲线 C 上存在点 P 使得 △ F 1 PF 2 的面积大于 ． 其中