双曲线（高考真题汇编）-2022--2023年2年全国高考数学试题（原卷全解析版）

双曲线（高考真题汇编） 2022-2023年2年全国高考数学试题全解析版 一．选择题（共 6 小题） 1 ．（ 2022• 港、澳、台）若双曲线 C ： ﹣ ＝ 1 （ a ＞ 0 ， b ＞ 0 ）的一条渐近线与直线 y ＝ 2 x +1 垂直，则 C 的离心率为（　　） A ． 5 B ． C ． D ． 2 ．（ 2022• 天津）已知抛物线 y 2 ＝ 4 x ， F 1 ， F 2 分别是双曲线 ﹣ ＝ 1 （ a ＞ 0 ， b ＞ 0 ）的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点 F 1 ，与双曲线的渐近线交于点 A ，若 ∠ F 1 F 2 A ＝ ，则双曲线的标准方程为（　　） A ． ﹣ y 2 ＝ 1 B ． x 2 ﹣ ＝ 1 C ． x 2 ﹣ ＝ 1 D ． ﹣ y 2 ＝ 1 3 ．（ 2023• 甲卷）已知双曲线 的离心率为 ，其中一条渐近线与圆（ x ﹣ 2 ） 2 + （ y ﹣ 3 ） 2 ＝ 1 交于 A ， B 两点，则 | AB | ＝（　　） A ． B ． C ． D ． 4 ．（ 2023• 天津）双曲线 ﹣ ＝ 1 （ a ＞ 0 ， b ＞ 0 ）的左、右焦点分别为 F 1 ， F 2 ．过 F 2 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 P ．已知 | PF 2 | ＝ 2 ，直线 PF 1 的斜率为 ，则双曲线的方程为（　　） A ． ﹣ ＝ 1 B ． ﹣ ＝ 1 C ． ﹣ ＝ 1 D ． ﹣ ＝ 1 5 ．（ 2023• 甲卷）已知双曲线 C ： ﹣ ＝ 1 （ a ＞ 0 ， b ＞ 0 ）的离心率为 ， C 的一条渐近线与圆（ x ﹣ 2 ） 2 + （ y ﹣ 3 ） 2 ＝ 1 交于 A ， B 两点，则 | AB | ＝（　　） A ． B ． C ． D ． 6 ．（ 2023• 乙卷）设 A ， B 为双曲线 x 2 ﹣ ＝ 1 上两点，下列四个点中，可为线段 AB 中点的是（　　） A ．（ 1 ， 1 ） B ．（﹣ 1 ， 2 ） C ．（ 1 ， 3 ） D ．（﹣ 1 ，﹣ 4 ） 二．多选题（共 1 小题） （多选） 7 ．（ 2022• 乙卷）双曲线 C 的两个焦点为 F 1 ， F 2 ，以 C 的实轴为直径的圆记为 D ，过 F 1 作 D 的切线与 C 交于 M ， N 两点，且 cos ∠ F 1 NF 2 ＝ ，则 C 的离心率为（　　） A ． B ． C ． D ． 三．填空题（共 9 小题） 8 ．（ 2022• 上海）双曲线 ﹣ y 2 ＝ 1 的实轴长为 　 　 ． 9 ．（ 2023• 北京）已知双曲线 C 的焦点为（﹣ 2 ， 0 ）和（ 2 ， 0 ），离心率为 ，则 C 的方程为 　 　 ． 10 ．（ 2023• 港、澳、台）若双曲线 C 焦点在 x 轴上，渐近线为 ，则 C 离心率为 　 　 ． 11 ．（ 2022• 北京）已知双曲线 y 2 + ＝ 1 的渐近线方程为 y ＝ ± x ，则 m ＝ 　 　 ． 12 ．（ 2022• 甲卷）记双曲线 C ： ﹣ ＝ 1 （ a ＞ 0 ， b ＞ 0 ）的离心率为 e ，写出满足条件 “ 直线 y ＝ 2 x 与 C 无公共点 ” 的 e 的一个值 　 　 ． 13 ．（ 2022• 甲卷）若双曲线 y 2 ﹣ ＝ 1 （ m ＞ 0 ）的渐近线与圆 x 2 + y 2 ﹣ 4 y +3 ＝ 0 相切，则 m ＝ 　 　 ． 14 ．（ 2023• 新高考Ⅰ）已知双曲线 C ： ﹣ ＝ 1 （ a ＞ 0 ， b ＞ 0 ）的左、右焦点分别为 F 1 ， F 2 ．点 A 在 C 上，点 B 在 y 轴上， ⊥ ， ＝﹣ ，则 C 的离心率为 　 　 ． 15 ．（ 2022• 浙江）已知双曲线 ﹣ ＝ 1 （ a ＞ 0 ， b ＞ 0 ）的左焦点为 F ，过 F 且斜率为 的直线交双曲线于点 A （ x 1 ， y 1 ），交双曲线的渐近线于点 B （ x 2 ， y 2 ）且 x 1 ＜ 0 ＜ x 2 ．若 | FB | ＝ 3| FA | ，则双曲线的离心率是 　 　 ． 16 ．（ 2022• 上海）已知 P 1 （ x 1 ， y 1 ）， P 2 （ x 2 ， y 2 ）两点均在双曲线 Γ ： ﹣ y 2 ＝ 1 （ a ＞ 0 ）的右支上，若 x 1 x 2 ＞ y 1 y 2 恒成立，则实数 a 的取值范围为 　 　 ． 四．解答题（共 2 小题） 17 ．（ 2022• 新高考Ⅱ）已知双曲线 C ： ﹣ ＝ 1 （ a ＞ 0 ， b ＞ 0 ）的右焦点为 F （ 2 ， 0 ），渐近线方程为 y ＝ ± x ． （ 1 ）求 C 的方程； （ 2 ）过 F 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A ， B 两点，点 P （ x 1 ， y 1 ）， Q （ x 2 ， y 2 ）在 C 上，且 x 1 ＞ x 2 ＞ 0 ， y 1 ＞ 0 ．过 P 且斜率为﹣ 的直线与过 Q 且斜率为 的直线交于点 M ．从下面 ①②③ 中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ① M 在 AB 上； ② PQ ∥ AB ； ③ | MA | ＝ | MB | ． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 18 ．（ 2023• 新高考Ⅱ）已知双曲线 C 中心为坐标原点，左焦点为（﹣ 2 ， 0 ），离心率为 ． （ 1 ）求 C 的方程； （ 2 ）记 C 的左、右顶点分别为 A 1 ， A 2 ，过点（﹣ 4 ， 0 ）的直线与 C 的左支交于 M ， N 两点， M 在第二象限，直线 MA 1 与 NA 2 交于 P ，证明 P 在定直线上． 双曲线（高考真题汇编） -2022-2023 年 2 年全国高考数学试题全解析版 参考答案与试题解析 一．选择题（共 6 小题） 1 ．（ 2022• 港、澳、台）若双曲线 C ： ﹣ ＝ 1 （ a ＞ 0 ， b ＞ 0 ）的一条渐近线与直线 y ＝ 2 x +1 垂直，则 C 的离心率为（　　） A ． 5 B ． C ． D ． 【答案】 D 【解答】 解：由双曲线 C ： ﹣ ＝ 1 （ a ＞ 0 ， b ＞ 0 ）的方程