2019年天津市高考数学试卷（理科）全解析版

2019 年天津市高考数学试卷（理科） 一、选择题： 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1 ．设集合 ， 1 ， 2 ， 3 ， ， ， 3 ， ， ，则 　　 A ． B ． ， C ． ， 2 ， D ． ， 2 ， 3 ， 2 ．设变量 ， 满足约束条件 则目标函数 的最大值为 　　 A ． 2 B ． 3 C ． 5 D ． 6 3 ．设 ，则“ ”是“ ”的 　　 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4 ．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为 　　 A ． 5 B ． 8 C ． 24 D ． 29 5 ．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ．若 与双曲线 的两条渐近线分别交于点 和点 ，且 为原点），则双曲线的离心率为 　　 A ． B ． C ． 2 D ． 6 ．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为 　　 A ． B ． C ． D ． 7 ．已知函数 ， ， 是奇函数，将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 ．若 的最小正周期为 ，且 ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 2 8 ．已知 ．设函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为 　　 A ． ， B ． ， C ． ， D ． ， 二、填空题： 本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 . 9 ． 是虚数单位，则 的值为 　　 ． 10 ． 的展开式中的常数项为 　　 ． 11 ．已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 ．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 　　 ． 12 ．设 ，直线 和圆 为参数）相切，则 的值为 　　 ． 13 ．设 ， ， ，则 的最小值为 　　 ． 14 ．在四边形 中， ， ， ， ，点 在线段 的延长线上，且 ，则 　　 ． 三、解答题： 本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15 ．（ 13 分）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 ， ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的值． 16 ．（ 13 分）设甲、乙两位同学上学期间，每天 之前到校的概率均为 ．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立． （Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中 之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望； （Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 之前到校的天数比乙同学在 之前到校的天数恰好多 2 ” ，求事件 发生的概率． 17 ．（ 13 分）如图， 平面 ， ， ， ， ， ． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长． 18 ．（ 13 分）设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 ．已知椭圆的短轴长为 4 ，离心率为 ． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的负半轴上．若 为原点），且 ，求直线 的斜率． 19 ．（ 14 分）设 是等差数列， 是等比数列．已知 ， ， ， ． （Ⅰ）求 和 的通项公式； （Ⅱ）设数列 满足 ， 其中 ． 求数列 的通项公式； 求 ． 20 ．（ 14 分）设函数 ， 为 的导函数． （Ⅰ）求 的单调区间； （Ⅱ）当 ， 时，证明 ； （Ⅲ）设 为函数 在区间 ， 内的零点，其中 ，证明 ． 2019 年天津市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题： 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1 ．设集合 ， 1 ， 2 ， 3 ， ， ， 3 ， ， ，则 　　 A ． B ． ， C ． ， 2 ， D ． ， 2 ， 3 ， 【思路分析】 根据集合的基本运算即可求 ，再求 ； 【解析】： 设集合 ， 1 ， 2 ， 3 ， ， ， 则 ， ， ， 3 ， ， ， ， 3 ， ， 2 ， 3 ， ； 故选： ． 【归纳与总结】 本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 2 ．设变量 ， 满足约束条件 则目标函数 的最大值为 　　 A ． 2 B ． 3 C ． 5 D ． 6 【思路分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【解析】： 由约束条件 作出可行域如图： 联立 ，解得 ， 化目标函数 为 ，由图可知，当直线 过 时， 有最大值为 5 ． 故选： ． 【归纳与总结】 本题考查简单的线性规划知识，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 3 ．设 ，则“ ”是“ ”的 　　 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【思路分析】 充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果 【解析】： ， ， ， ， 推不出 ， ， 是 的必要不充分条件， 即 是 的必要不充分条件． 故选： ． 【归纳与总结】 本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题． 4 ．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为 　　 A ． 5 B ． 8 C ． 24 D ． 29 【思路分析】 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解析】： ， ； 第一次执行第一个判断语句后， ， ，不满足条件； 第二次执行第一个判断语