2023-2024学年浙江省温州市中学高二上学期期末数学试题（A）（全解析版）

浙江省 温州市 2023 -2024 学年第一学期高二期末教学质量统一检测 数学试题（ A 卷） 本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟． 考生注意： 1 ．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上． 2 ．选择题的答案须用 2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净． 3 ．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内，答案写在本试题卷选择题部分上无效． 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线方程 ，则倾斜角为（ ） A. 45° B. 60° C. 120° D. 135° 2. 在空间四边形 ABCD 中，点 M ， G 分别是 BC 和 CD 的中点，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知函数 满足 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知 为等比数列 的前 n 项和， ，则 （ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 5. 已知圆锥有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱与圆锥的高之比为（ ） A. B. C. D. 6. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数．他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的 1 ， 5 ， 12 ， 22 称为 五边形数 ，若五边形数所构成的数列记作 ，下列不是数列 的项的是（ ） A. 35 B. 70 C. 145 D. 170 7. 已知 F 为椭圆 的左焦点，过点 F 的直线 l 交椭圆于 A ， B 两点， ，则直线 AB 的斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数 在 上单调递增，则 a 和 b 的可能取值为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分． 9. 以下选项中的两个圆锥曲线的离心率相等的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 已知函数 ，则（ ） A. B 有两个极值点 C. 在区间 上既有最大值又有最小值 D. 11. 已知数列 的前 n 项和为 ，且 ， ，则下列命题正确的是（ ） A. 若 等差数列，则数列 为递增数列 B. 若 等比数列，则数列 为递增数列 C. 若 为等差数列，则数列 为递增数列 D. 若 为等比数列，则数列 为递增数列 12. 已知在直三棱柱 中， ， ， ，点 分别为棱 ， ， 上 动点（不含端点），点 为棱 的中点，且 ，则（ ） A 平面 B. 平面 C. 点 到平面 距离的最大值为 D. 平面 与平面 所成角正弦值的最小值为 非选择题部分 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 等差数列 的前 n 项和为 ，已知 ，且 ，则公差 ______ ． 14. 已知圆 ： 和圆 ： 外离，则整数 的一个取值可以是 ______ ． 15. 两个正方形 ABCD ， ABEF 的边长都是 1 ，且它们所在的平面互相垂直， M 和 N 分别是对角线 AC 和 BF 上的动点，则 MN 的最小值为 ______ ． 16. 已知双曲线 C ： 的左、右焦点分别为 ， ， l ： 是 C 的一条渐近线， 是 C 第一象限上的点，直线 与 l 交于点 ， ，则 ______ ． 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 17. 如图，四棱锥 的底面是边长为 1 的菱形， ， 平面 ABCD ， ， M 为 PB 的中点． （ 1 ）求证：平面 平面 PDB ； （ 2 ）求 CP 与平面 MAC 所成角的正弦值． 18. 已知圆满足： ① 截 轴所得弦长为 2 ； ② 被 轴分成两段圆弧，其弧长的比为 3 ： 1 ； ③ 圆心到直线 ： 的距离为 ，求该圆的方程． 19. 已知数列 满足 ， ． （ 1 ）求证：数列 为等差数列； （ 2 ）设数列 前 n 项和为 ，且 对任意的 恒成立，求 k 的取值范围． 20. 已知函数 ． （ 1 ）讨论 的单调性； （ 2 ）求证：当 时， ． 21. 已知点 在双曲线 C ： 上， （ 1 ）求 C 的方程； （ 2 ）如图，若直线 l 垂直于直线 OA ，且与 C 的右支交于 P 、 Q 两点，直线 AP 、 AQ 与 y 轴的交点分别为点 M 、 N ，记四边形 MPQN 与三角形 APQ 的面积分别为 与 ，求 的取值范围． 22. 设函数 ． （ 1 ）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求 a ， b 的值； （ 2 ）若当 时，恒有 ，求实数 a 的取值范围； （ 3 ）设 时，求证： ． 2023 学年第一学期温州市高二期末教学质量统一检测 数学试题（ A 卷） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线方程 ，则倾斜角为（ ） A. 45° B. 60° C. 120° D. 135° 【答案】 D 【解析】 【分析】求出直线的斜率，进而得到直线的倾斜角 . 【详解】直线 的斜率为 - 1 ， 设直线的倾斜角为 ，则 ， 因为 ，所以 . 故选： D. 2. 在空间四边形 ABCD 中，点 M ， G 分别是 BC 和 CD 的中点，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】根据已知可得 ，代入即可