圆锥曲线：抛物线（高考真题汇编）-2022--2023年2年全国高考数学试题（原卷全解析版）

圆锥曲线：抛物线（高考真题汇编） 2022-2023年2年全国高考数学试题全解析版 一．选择题（共 5 小题） 1 ．（ 2023• 港、澳、台）抛物线 y 2 ＝ 2 px 过点 ，求焦点（　　） A ．（ ， 0 ） B ．（ ， 0 ） C ． D ． 2 ．（ 2022• 港、澳、台）以（ 1 ， 0 ）为焦点， y 轴为准线的抛物线的方程是（　　） A ． y 2 ＝ x ﹣ B ． y 2 ＝ x + C ． y 2 ＝ 2 x ﹣ 1 D ． y 2 ＝ 2 x +1 3 ．（ 2023• 北京）已知抛物线 C ： y 2 ＝ 8 x 的焦点为 F ，点 M 在 C 上，若 M 到直线 x ＝﹣ 3 的距离为 5 ，则 | MF | ＝（　　） A ． 7 B ． 6 C ． 5 D ． 4 4 ．（ 2022• 乙卷）设 F 为抛物线 C ： y 2 ＝ 4 x 的焦点，点 A 在 C 上，点 B （ 3 ， 0 ），若 | AF | ＝ | BF | ，则 | AB | ＝（　　） A ． 2 B ． 2 C ． 3 D ． 3 5 ．（ 2023• 上海）已知 P ， Q 是曲线 Γ 上两点，若存在 M 点，使得曲线 Γ 上任意一点 P 都存在 Q 使得 | MP |•| MQ | ＝ 1 ，则称曲线 Γ 是 “ 自相关曲线 ” ．现有如下两个命题： ① 任意椭圆都是 “ 自相关曲线 ” ； ② 存在双曲线是 “ 自相关曲线 ” ，则（　　） A ． ① 成立， ② 成立 B ． ① 成立， ② 不成立 C ． ① 不成立， ② 成立 D ． ① 不成立， ② 不成立 二．多 选题（共 3 小题） （多选） 6 ．（ 2023• 新高考Ⅱ）设 O 为坐标原点，直线 y ＝﹣ （ x ﹣ 1 ）过抛物线 C ： y 2 ＝ 2 px （ p ＞ 0 ）的焦点，且与 C 交于 M ， N 两点， l 为 C 的准线，则（　　） A ． p ＝ 2 B ． | MN | ＝ C ．以 MN 为直径的圆与 l 相切 D ． △ OMN 为等腰三角形 （多选） 7 ．（ 2022• 新高考Ⅰ）已知 O 为坐标原点，点 A （ 1 ， 1 ）在抛物线 C ： x 2 ＝ 2 py （ p ＞ 0 ）上，过点 B （ 0 ，﹣ 1 ）的直线交 C 于 P ， Q 两点，则（　　） A ． C 的准线为 y ＝﹣ 1 B ．直线 AB 与 C 相切 C ． | OP |•| OQ | ＞ | OA | 2 D ． | BP |•| BQ | ＞ | BA | 2 （多选） 8 ．（ 2022• 新高考Ⅱ）已知 O 为坐标原点，过抛物线 C ： y 2 ＝ 2 px （ p ＞ 0 ）焦点 F 的直线与 C 交于 A ， B 两点，其中 A 在第一象限，点 M （ p ， 0 ）．若 | AF | ＝ | AM | ，则（　　） A ．直线 AB 的斜率为 2 B ． | OB | ＝ | OF | C ． | AB | ＞ 4| OF | D ． ∠ OAM + ∠ OBM ＜ 180° 三．填空题（共 1 小题） 9 ．（ 2023• 乙卷）已知点 A （ 1 ， ）在抛物线 C ： y 2 ＝ 2 px 上，则 A 到 C 的准线的距离为 　 　 ． 四．解答题（共 7 小题 ） 10 ．（ 2023• 上海）已知抛物线 Γ ： y 2 ＝ 4 x ，在 Γ 上有一点 A 位于第一象限，设 A 的纵坐标为 a （ a ＞ 0 ）． （ 1 ）若 A 到抛物线 Γ 准线的距离为 3 ，求 a 的值； （ 2 ）当 a ＝ 4 时，若 x 轴上存在一点 B ，使 AB 的中点在抛物线 Γ 上，求 O 到直线 AB 的距离； （ 3 ）直线 l ： x ＝﹣ 3 ， P 是第一象限内 Γ 上异于 A 的动点， P 在直线 l 上的投影为点 H ，直线 AP 与直线 l 的交点为 Q ．若在 P 的位置变化过程中， | HQ | ＞ 4 恒成立，求 a 的取值范围． 11 ．（ 2022• 上海）设有椭圆方程 Γ ： + ＝ 1 （ a ＞ b ＞ 0 ），直线 l ： x + y ﹣ 4 ＝ 0 ， Γ 下端点为 A ， M 在 l 上，左、右焦点分别为 F 1 （﹣ ， 0 ）、 F 2 （ ， 0 ）． （ 1 ） a ＝ 2 ， AM 中点在 x 轴上，求点 M 的坐标； （ 2 ）直线 l 与 y 轴交于 B ，直线 AM 经过右焦点 F 2 ，在 △ ABM 中有一内角余弦值为 ，求 b ； （ 3 ）在椭圆 Γ 上存在一点 P 到 l 距离为 d ，使 | PF 1 |+| PF 2 |+ d ＝ 6 ，随 a 的变化，求 d 的最小值． 12 ．（ 2022• 浙江）如图，已知椭圆 + y 2 ＝ 1 ．设 A ， B 是椭圆上异于 P （ 0 ， 1 ）的两点，且点 Q （ 0 ， ）在线段 AB 上，直线 PA ， PB 分别交直线 y ＝﹣ x +3 于 C ， D 两点． （Ⅰ）求点 P 到椭圆上点的距离的最大值； （Ⅱ）求 | CD | 的最小值． 13 ．（ 2022• 甲卷）设抛物线 C ： y 2 ＝ 2 px （ p ＞ 0 ）的焦点为 F ，点 D （ p ， 0 ），过 F 的直线交 C 于 M ， N 两点．当直线 MD 垂直于 x 轴时， | MF | ＝ 3 ． （ 1 ）求 C 的方程； （ 2 ）设直线 MD ， ND 与 C 的另一个交点分别为 A ， B ，记直线 MN ， AB 的倾斜角分别为 α ， β ．当 α ﹣ β 取得最大值时，求直线 AB 的方程． 14 ．（ 2023• 甲卷）已知直线 x ﹣ 2 y +1 ＝ 0 与抛物线 C ： y 2 ＝ 2 px （ p ＞ 0 ）交于 A ， B 两点， | AB | ＝ 4 ． （ 1 ）求 p ； （ 2 ）设 F 为 C 的焦点， M ， N 为 C 上两点，且 • ＝ 0 ，求 △ MFN 面积的最小值． 15 ．（ 2023• 新高考Ⅰ）在直角坐标系 xOy 中，点 P 到 x 轴的距离等于点 P 到点（ 0 ， ）的距离，记动点 P 的轨迹为 W ． （ 1 ）求 W 的方程； （ 2 ）已知矩形 ABCD 有三个顶点在 W 上，证明：矩形 ABCD 的周长大于 3 ． 16 ．（ 2023• 甲卷）设抛物线 C ： y 2 ＝ 2 px （ p ＞ 0 ），直线 x ﹣ 2 y +1 ＝ 0 与 C 交于 A ， B 两点，且 | AB | ＝