北京市海淀区清华志清中学2020-2021学年高二（下）期末考试数学试题（原卷全解析版）免费下载

北京市 海淀 区 清华志清中学 2020-2021 学年高二（下）期末 数 学 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．） 1 ．（ 4 分）集合 的子集个数为 　　 A ． 4 B ． 6 C ． 7 D ． 8 2 ．（ 4 分）设 ， 是实数，则 “ ” 是 “ ” 的 　　 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3 ．（ 4 分）设函数 ，则 （ 3 ） 　　 A ． B ． 3 C ． D ． 4 ．（ 4 分）下列函数中，在区间 上单调递增的是 　　 A ． B ． C ． D ． 5 ．（ 4 分）在 中，若 ， ， ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 6 ．（ 4 分）将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的图象的函数解析式为 　　 A ． B ． C ． D ． 7 ．（ 4 分）已知 ， ， ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 8 ．（ 4 分）若 ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 9 ．（ 4 分）函数 的最小正周期是 　　 A ． B ． C ． D ． 10 ．（ 4 分）函数 的零点个数为 　　 A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．） 11 ．（ 4 分）命题 ： “ ，都有 ” ，则命题 的否定为 　　 ． 12 ．（ 4 分）已知函数 ，若 ，则 　　 ． 13 ．（ 4 分）已知二次函数 ，若 是偶函数，则实数 的值为 　　 ． 14 ．（ 4 分）设 ， 且 ，则 的最小值是 　　 ． 15 ．（ 4 分）已知 ， ，则 　　 ． 三、解答题（共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分．） 16 ．（ 10 分）已知函数 的最小正周期为 ． （ 1 ）求 的值； （ 2 ）求 的单调递增区间． 17 ．（ 10 分）已知在 中， ， ． （ 1 ）求 的大小； （ 2 ）若 ，求 边上的中线长度． 18 ．（ 10 分）已知函数 ． （ Ⅰ ）若 ，求曲线 在点 ， （ 1 ） 处的切线方程； （ Ⅱ ）若 在 处取得极值，求 的单调区间，并求其最大值和最小值． 19 ．（ 10 分）某学校组织一项益智游戏，要求参加该益智游戏的同学从 8 道题目中随机抽取 3 道回答，至少答对 2 道可以晋级．已知甲同学能答对其中的 5 道题． （ 1 ）设甲同学答对题目的数量为 ，求 的分布列及数学期望： （ 2 ）求甲同学能晋级的概率． 2021 北京海淀清华志清中学高二（下）期末数学 参考答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．） 1 ．【分析】先求出集合 ，再根据集合 的元素个数即可求出集合 的子集个数． 【解答】解： ， 0 ， ， 集合 的子集个数为 个， 故选： ． 【点评】本题主要考查了集合子集个数的求法，掌握公式是关键，属于基础题． 2 ．【分析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关键是对不等式性质的理解． 【解答】解：因为 ， 都是实数，由 ，不一定有 ，如 ，但 ，所以 “ ” 是 “ ” 的不充分条件； 反之，由 也不一定得 ，如 ，但 ，所以 “ ” 是 “ ” 的不必要条件． 故选： ． 【点评】判断充要条件的方法是： ① 若 为真命题且 为假命题，则命题 是命题 的充分不必要条件； ② 若 为假命题且 为真命题，则命题 是命题 的必要不充分条件； ③ 若 为真命题且 为真命题，则命题 是命题 的充要条件； ④ 若 为假命题且 为假命题，则命题 是命题 的既不充分也不必要条件． ⑤ 判断命题 与命题 所表示的范围，再根据 “ 谁大谁必要，谁小谁充分 ” 的原则，判断命题 与命题 的关系． ⑥ 涉及不等式平方大小的比较问题，举反例不失为一种有效的方法． 3 ．【分析】求出 （ 3 ） ，从而 （ 3 ） ，由此能求出 （ 3 ） ． 【解答】解： 函数 ， （ 3 ） ， （ 3 ） ． 故选： ． 【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 4 ．【分析】判断每个函数在 上的单调性即可． 【解答】解： 在 上单调递增， 和 在 上都是减函数． 故选： ． 【点评】考查幂函数、指数函数、对数函数和反比例函数的单调性． 5 ．【分析】结合已知，根据正弦定理， 可求 【解答】解：根据正弦定理， ， 则 故选： ． 【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题 6 ．【分析】由题意利用函数 的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【解答】解：将函数 的图象向左平移 个单位长度， 得到的图象的函数解析式为 ， 故选： ． 【点评】本题主要考查函数 的图象变换规律，诱导公式，属于基础题． 7 ．【分析】利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较 ， ， 与 0 和 1 的大小得答案． 【解答】解： ， ， ， ． 故选： ． 【点评】本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，是基础题． 8 ．【分析】 ，由此能求出结果． 【解答】解： ， ． 故选： ． 【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 9 ．【分析】由已知中函数 的解析式，我们利用二倍角公式，可以将函数的解析式化为一个余弦型函数，根据函数的解析式，求出 值，代入 即可得到答案． 【解答】解： 即 故选： ． 【点评】本题考查