立体几何初步 -2023年全国高考数学试题真题汇编（原卷全解析版）

立体几何初步 2023年全国高考数学试题真题汇编 考试范围：立体几何；考试时间： 45 分钟；命题人：中学升学考试与预测组 一．选择题（共 7 小题） 1 ．（ 2023• 乙卷）如图，网格纸上绘制的是一个零件的三视图，网格小正方形的边长为 1 ，则该零件的表面积为（　　） A ． 24 B ． 26 C ． 28 D ． 30 2 ．（ 2023• 乙卷）已知圆锥 PO 的底面半径为 ， O 为底面圆心， PA ， PB 为圆锥的母线， ∠ AOB ＝ 120° ，若 △ PAB 的面积等于 ，则该圆锥的体积为（　　） A ． π B ． π C ． 3π D ． 3 π 3 ．（ 2023• 甲卷）在三棱锥 P ﹣ ABC 中， △ ABC 是边长为 2 的等边三角形， PA ＝ PB ＝ 2 ， PC ＝ ，则该棱锥的体积为（　　） A ． 1 B ． C ． 2 D ． 3 4 ．（ 2023• 天津）在三棱锥 P ﹣ ABC 中，线段 PC 上的点 M 满足 PM ＝ PC ，线段 PB 上的点 N 满足 PN ＝ PB ，则三棱锥 P ﹣ AMN 和三棱锥 P ﹣ ABC 的体积之比为（　　） A ． B ． C ． D ． 5 ．（ 2023• 甲卷）在四棱锥 P ﹣ ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， AB ＝ 4 ， PC ＝ PD ＝ 3 ， ∠ PCA ＝ 45° ，则 △ PBC 的面积为（　　） A ． B ． C ． D ． 6 ．（ 2023• 全国）长方体的对角线长为 1 ，表面积为 1 ，有一面为正方形，则其体积为（　　） A ． B ． C ． D ． 7 ．（ 2023• 上海）如图所示，在正方体 ABCD ﹣ A 1 B 1 C 1 D 1 中，点 P 为边 A 1 C 1 上的动点，则下列直线中，始终与直线 BP 异面的是（　　） A ． DD 1 B ． AC C ． AD 1 D ． B 1 C 二．多选题（共 1 小题） （多选） 8 ．（ 2023• 新高考 Ⅰ ）下列物体中，能够被整体放入棱长为 1 （单位： m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（　　） A ．直径为 0.99 m 的球体 B ．所有棱长均为 1.4 m 的四面体 C ．底面直径为 0.01 m ，高为 1.8 m 的圆柱体 D ．底面直径为 1.2 m ，高为 0.01 m 的圆柱体 三．填空题（共 5 小题） 9 ．（ 2023• 新高考 Ⅱ ）底面边长为 4 的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 2 ，高为 3 的正四棱锥，所得棱台的体积为 　 　 ． 10 ．（ 2023• 新高考 Ⅰ ）在正四棱台 ABCD ﹣ A 1 B 1 C 1 D 1 中， AB ＝ 2 ， A 1 B 1 ＝ 1 ， AA 1 ＝ ，则该棱台的体积为 　 　 ． 11 ．（ 2023• 甲卷）在正方体 ABCD ﹣ A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分别为 CD ， A 1 B 1 的中点，则以 EF 为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为 　 　 ． 12 ．（ 2023• 上海）空间中有三个点 A 、 B 、 C ，且 AB ＝ BC ＝ CA ＝ 1 ，在空间中任取 2 个不同的点 D ， E （不考虑这两个点的顺序），使得它们与 A 、 B 、 C 恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有 　 　 种． 13 ．（ 2023• 甲卷）在正方体 ABCD ﹣ A 1 B 1 C 1 D 1 中， AB ＝ 4 ， O 为 AC 1 的中点，若该正方体的棱与球 O 的球面有公共点，则球 O 的半径的取值范围是 　 　 ． 四．解答题（共 2 小题） 14 ．（ 2023• 乙卷）如图，在三棱锥 P ﹣ ABC 中， AB ⊥ BC ， AB ＝ 2 ， BC ＝ 2 ， PB ＝ PC ＝ ， BP ， AP ， BC 的中点分别为 D ， E ， O ，点 F 在 AC 上， BF ⊥ AO ． （ 1 ）求证： EF ∥ 平面 ADO ； （ 2 ）若 ∠ POF ＝ 120° ，求三棱锥 P ﹣ ABC 的体积． 15 ．（ 2023• 全国）在直三棱柱 ABC ﹣ A 1 B 1 C 1 中， AB ＝ AC ＝ 1 ， ， ∠ CAB ＝ 120° ． （ 1 ）求直三棱柱 ABC ﹣ A 1 B 1 C 1 的体积； （ 2 ）求直三棱柱 ABC ﹣ A 1 B 1 C 1 的表面积． 立体几何初步 2023 年全国高考数学试题真题汇编 参考答案与试题解析 一．选择题（共 7 小题） 1 ．（ 2023• 乙卷）如图，网格纸上绘制的是一个零件的三视图，网格小正方形的边长为 1 ，则该零件的表面积为（　　） A ． 24 B ． 26 C ． 28 D ． 30 【答案】 D 【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是由两个直四棱柱组成的几何体． 如图所示： 故该几何体的表面积为： 4+6+5+5+2+2+2+4 ＝ 30 ． 故选： D ． 2 ．（ 2023• 乙卷）已知圆锥 PO 的底面半径为 ， O 为底面圆心， PA ， PB 为圆锥的母线， ∠ AOB ＝ 120° ，若 △ PAB 的面积等于 ，则该圆锥的体积为（　　） A ． π B ． π C ． 3π D ． 3 π 【答案】 B 【解答】解：根据题意，设该圆锥的高为 h ，即 PO ＝ h ，取 AB 的中点 E ，连接 PE 、 OE ， 由于圆锥 PO 的底面半径为 ，即 OA ＝ OB ＝ ， 而 ∠ AOB ＝ 120° ，故 AB ＝ ＝ ＝ 3 ， 同时 OE ＝ OA ×sin30° ＝ ， △ PAB 中， PA ＝ PB ， E 为 AB 的中点，则有 PE ⊥ AB ， 又由 △ PAB 的面积等于 ，即 PE • AB ＝ ，变形可得 PE ＝ ， 而 PE ＝ ，则有 h 2 + ＝ ，解可得 h ＝ ， 故该圆锥的体积 V ＝ π× （ ） 2 h ＝ π ． 故选： B ． 3 ．（ 2023• 甲卷）在三棱锥 P ﹣ ABC 中， △ ABC 是边长为 2 的等边三角形， PA ＝ PB ＝ 2 ， PC ＝ ，则该棱锥的体积为（　　） A ．