北京市海淀区北京首师大附中2020-2021学年高二（下）期中考试 数学试题（原卷全解析版）免费下载

北京市海淀区 北京首师大附中 2020-2021 学年高二（下）期中考试 数 学 一、选择题（共 8 小题） . 1 ．直线（ 3 a +4 ） x + ay +8 ＝ 0 与直线 ax + （ a +4 ） y ﹣ 7 ＝ 0 垂直，则 a 的值为（　　） A ．﹣ 2 B ． 0 C ．﹣ 2 或 0 D ． 0 或 2 2 ．若椭圆 的离心率为 ，则 m 的值等于（　　） A ． B ． C ．﹣ 或 3 D ． 或 3 3 ．函数 f （ x ）＝ m 2 x 3 ﹣ 2 mx 2 + x 在 x ＝ 处取得极大值，则实数 m 的值为（　　） A ． 1 或 3 B ． 3 C ． 1 D ． 0 4 ．两圆 x 2 + y 2 ﹣ 4 x +2 y +1 ＝ 0 与 x 2 + y 2 +4 x ﹣ 4 y ﹣ 1 ＝ 0 的公切线有（　　） A ． 1 条 B ． 2 条 C ． 3 条 D ． 4 条 5 ．若函数 f （ x ）＝ lnx ﹣ ax 有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围是（　　） A ．（ 0 ， +∞ ） B ． C ．（ 0 ， e ） D ． 6 ．如图所示是 y ＝ f （ x ）的导数 y ＝ f ′ （ x ）的 图象 ，下列四个结论： ① f （ x ）在区间（﹣ 3 ， 1 ）上是增函数； ② x ＝﹣ 1 是 f （ x ）的极小值点； ③ f （ x ）在区间（ 2 ， 4 ）上是减函数，在区间（﹣ 1 ， 2 ）上是增函数； ④ x ＝ 2 是 f （ x ）的极小值点． 其中正确的结论是（　　） A ． ①②③ B ． ②③ C ． ③④ D ． ①③④ 7 ．几何学史上有一个著名的米勒问题： “ 设点 M ， N 是锐角 ∠ AQB 的一边 QA 上的两点，试在 QB 边上找一点 P ，使得 ∠ MPN 最大 ” ．如图，其结论是：点 P 为过 M ， N 两点且和射线 QB 相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系 xOy 中，给定两点 M （ 1 ， 2 ）， N （ 1 ， 4 ），点 P 在 x 轴上移动，当 ∠ MPN 取最大值时，点 P 的横坐标是（　　） A ．﹣ 7 B ． 1 或﹣ 7 C ． 2 或﹣ 7 D ． 1 8 ．若函数 f （ x ）在区间 A 上，对 ∀ a ， b ， c ∈ A ， f （ a ）， f （ b ）， f （ c ）为一个三角形的三边长，则称函数 f （ x ）为 “ 三角形函数 ” ．已知函数 f （ x ）＝ xlnx + m 在区间 [ ， e ] 上是 “ 三角形函数 ” ，则实数 m 的取值范围为（　　） A ． B ． C ． D ． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填写在题中横线上。 9 ．椭圆 的左右焦点为 F 1 ， F 2 ， b ＝ 4 ，离心率为 ，过 F 1 的直线交椭圆于 A 、 B 两点，则 △ ABF 2 的周长为 　 　 ． 10 ．如图，将一边长为 6 m 的正方形铁皮四角各截去一个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起，得到一个无盖长方体容器，若要 求所得 容器的容积最大，则截去的小正方形边长为 　 　 m ． 11 ．若 ，使得不等式 2 xlnx + x 2 ﹣ mx +3≤0 成立，则实数 m 的最小值为 　 　 ． 12 ．曲线 C 是平面内与两个定点 F 1 （﹣ 1 ， 0 ）和 F 2 （ 1 ， 0 ）的距离的积等于常数 a （ a ＞ 1 ）的点的轨迹，给出下列四个结论： ① 曲线 C 关于坐标轴对称； ② 曲线 C 上的点都在椭圆 ＝ 1 外； ③ 曲线 C 上点的横坐标的最大值为 ； ④ 若点 P 在曲线 C 上（不在 x 轴上），对任意的常数 a （ a ＞ 1 ）， △ PF 1 F 2 的面积的最大值为 ． 其中，所有正确结论的序号是 　 　 ． 三、解答题：本大题共 4 小题，共 48 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13 ．已知圆 C 1 圆心为原点，且与直线 3 x +4 y ﹣ 10 ＝ 0 相切，直线 l 过点 M （ 1 ， 2 ）． （ 1 ）求圆 C 1 的标准方程； （ 2 ）若直线 l 被圆 C 1 所截得的弦长为 2 ，求直线 l 的方程． 14 ．已知函数 f （ x ）＝ x 3 + ax 2 + bx 的 图象 与直线 15 x ﹣ y ﹣ 28 ＝ 0 相切于点（ 2 ， 2 ）． （ Ⅰ ）求 a ， b 的值； （ Ⅱ ）求函数 f （ x ）的单调区间． 15 ．已知椭圆 C ： ＝ 1 （ a ＞ b ＞ 0 ）的离心率为 ，且经过点 ． （ Ⅰ ）求椭圆 C 的方程； （ Ⅱ ）过点 P （ 0 ， 2 ）的直线交椭圆 C 于 A ， B 两点，求 △ AOB （ O 为原点）面积的最大值． 16 ．已知函数 f （ x ）＝ lnx +1 ﹣ 2 a ﹣ x + 有两个不同的极值点 x 1 ， x 2 ． （ 1 ）求 a 的取值范围； （ 2 ）求 f （ x ）的极大值与极小值之和的取值范围． 2021 北京首师大附中高二（下）期中数学 参考答案 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ．直线（ 3 a +4 ） x + ay +8 ＝ 0 与直线 ax + （ a +4 ） y ﹣ 7 ＝ 0 垂直，则 a 的值为（　　） A ．﹣ 2 B ． 0 C ．﹣ 2 或 0 D ． 0 或 2 解：当 a ＝ 0 时，直线 l 1 为 x ＝ 2 ，直线 l 2 为 y ＝ ，直线 l 1 和 l 2 互相垂直． 当两直线的斜率都存在时，根据斜率之积等于﹣ 1 可得﹣ ＝﹣ 1 ∴ a ＝﹣ 2 综上， a ＝ 0 或 a ＝﹣ 2 ， 故选： C ． 2 ．若椭圆 的离心率为 ，则 m 的值等于（　　） A ． B ． C ．﹣ 或 3 D ． 或 3 解：当 m +9 ＞ 9 ，即 m ＞ 0 时，焦点 y 轴 c ＝ ＝ e ＝ ＝ 求得 m ＝ 3 当 m +9 ＜ 9 时，即 m ＜ 0 时， c ＝ ＝ e ＝ ，求得 m ＝﹣ 故选： C ． 3 ．函数 f