浙江省宁波市镇海中学2024届高三上学期期末数学试题（全解析版）

浙江省宁波市 镇海中学 2023 学年第一学期期末考试 高三数学试题 说明： 本试卷分第 Ⅰ 卷（选择题）和第 Ⅱ 卷（非选择题）两部分，共 150 分． 考试时间 120 分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卷上． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. ， ，则 （ ） A. B. C D. 2. 函数 零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 3. 设函数 （ ， ），则函数 单调性（ ） A. 与 有关，且与 有关 B. 与 无关，且与 有关 C 与 有关，且与 无关 D. 与 无关，且与 无关 4. 已知等差数列 ，则 是 成立的（ ）条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 5. 已知直线 a ， m ， n ， l ，且 m ， n 为异面直线， 平面 ， 平面 ．若 l 满足 ， ，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若 ，则 D. 6. 已知 是单位向量，且它们的夹角是 . 若 ，且 ，则 （ ） A. 2 B. C. 2 或 D. 3 或 7. 函数 在 上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 设实数 x ， y 满足 ， ，不等式 恒成立，则实数 k 的最大值为（ ） A. 12 B. 24 C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分 . 9. 已知复数 ， ，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知 ， 的定义域为 R ，且 （ ）， ，若 为奇函数，则（ ） A. 关于 对称 B. 为奇函数 C. D. 偶函数 11. 已知 为坐标原点，曲线 ： ， ， 为曲线 上动点， 则（ ） A. 曲线 关于 y 轴对称 B. 曲线 的图象具有 3 条对称轴 C. D. 的最大值为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 . 12. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 ．则角 ______ . 13. 镇海中学举办大观红楼知识竞赛，该比赛为擂台赛，挑战者向守擂者提出挑战，两人轮流答题，直至一方答不出或答错，则另一方自动获胜，挑战者先答题，守擂者和挑战者每次答对问题的概率都是 ，每次答题互相独立，则挑战者最终获胜的概率为 ______ . 14. 在四面体 中， ，若 ，则四面体 体积的最大值是 __________ ，它的外接球表面积的最小值为 __________ . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15. 在 中，内角 的对边分别为 ，向量 ，且 ． （ 1 ）求 ； （ 2 ）若 的外接圆半径为 2 ，且 ，求 的面积． 16. 已知 为正项数列 的前 n 项的乘积，且 ， ，数列 满足 ． （ 1 ）求数列 的通项公式； （ 2 ）若数列 为递增数列，求实数 k 的取值范围； 17. 某款游戏预推出一项皮肤抽卡活动，玩家每次抽卡需要花费 10 元，现有以下两种方案．方案一：没有保底机制，每次抽卡抽中新皮肤的概率为 ；方案二：每次抽卡抽中新皮肤的概率为 ，若连续 99 次未抽中，则第 100 次必中新皮肤．已知 ，玩家按照一、二两种方案进行抽卡，首次抽中新皮肤时的累计花费为 X ， Y （元）． （ 1 ）求 X ， Y 的分布列； （ 2 ）求 ； （ 3 ）若 ，根据花费的均值从游戏策划角度选择收益较高的方案．（参考数据： ．） 18. 已知椭圆 C ： （ ， ）的左、右焦点分别为 、 ，离心率为 ，经过点 且倾斜角为 （ ）的直线 l 与椭圆交于 A 、 B 两点（其中点 A 在 x 轴上方）， 的周长为 8 ． （ 1 ）求椭圆 C 的标准方程； （ 2 ）如图，将平面 xOy 沿 x 轴折叠，使 y 轴正半轴和 x 轴所确定的半平面（平面 ）与 y 轴负半轴和 x 轴所确定的半平面（平面 ）互相垂直． ① 若 ，求三棱锥 的体积， ② 若 ，异面直线 和 所成角的余弦值； ③ 是否存在 （ ），使得 折叠后的周长为与折叠前的周长之比为 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由． 19. 在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线 C ： 上的曲线段 ，其弧长为 ，当动点从 A 沿曲线段 运动到 B 点时， A 点的切线 也随着转动到 B 点的切线 ，记这两条切线之间的夹角为 （它等于 的倾斜角与 的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义 为曲线段 的平均曲率；显然当 B 越接近 A ，即 越 小， K 就越能精确刻画曲线 C 在点 A 处的弯曲程度，因此定义 （若极限存在）为曲线 C 在点 A 处的曲率．（其中 y ＇， y ＇＇分别表示 在点 A 处的一阶、二阶导数） （ 1 ）求单位圆上圆心角为 60° 的圆弧的平均曲率； （ 2 ）求椭圆 在 处的曲率； （ 3 ）定义 为曲线 的 “ 柯西曲率 ” ．已知在曲线 上存在两点 和 ，且 P ， Q 处的 “ 柯西曲率 ” 相同，求 的取值范围． 镇海中学 2023 学年第一学期期末考试 高三数学试题 说明： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，