2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题（原卷全解析版）

2024 年 1 月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题 注意事项： ] ．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上． 2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3 ．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据 16 ， 24 ， 14 ， 10 ， 20 ， 30 ， 12 ， 14 ， 40 的中位数为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 2. 椭圆 的离心率为 ，则 （ ） A. B. C. D. 2 3. 记等差数列 的前 项和为 ，则 （ ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 4. 设 是两个平面， 是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 5. 甲、乙、丙等 5 人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有 2 人，则不同排法共有（ ） A. 20 种 B. 16 种 C. 12 种 D. 8 种 6. 已知 为直线 上的动点，点 满足 ，记 的轨迹为 ，则（ ） A. 是一个半径为 的圆 B. 是一条与 相交的直线 C. 上的点到 的距离均为 D. 是两条平行直线 7. 已知 ，则 （ ） A. B. C. 1 D. 8. 设双曲线 的左、右焦点分别为 ，过坐标原点的直线与 交于 两点， ，则 的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 已知函数 ，则（ ） A. 函数 偶函数 B. 曲线 对称轴为 C. 在区间 单调递增 D. 的最小值为 10. 已知复数 均不为 0 ，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数 的定义域为 ，且 ，若 ，则（ ） A. B. C. 函数 是偶函数 D. 函数 是减函数 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知集合 ，若 ，则 的最小值为 __________ ． 13. 已知轴截面为正三角形的圆锥 的高与球 的直径相等，则圆锥 的体积与球 的体积的比值是 __________ ，圆锥 的表面积与球 的表面积的比值是 __________ ． 14. 以 表示数集 中最大的数．设 ，已知 或 ，则 的最小值为 __________ ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 在点 处的切线与直线 垂直． （ 1 ）求 ； （ 2 ）求 的单调区间和极值． 16. 盒中有标记数字 1 ， 2 ， 3 ， 4 的小球各 2 个，随机一次取出 3 个小球． （ 1 ）求取出 3 个小球上的数字两两不同的概率； （ 2 ）记取出的 3 个小球上的最小数字为 ，求 的分布列及数学期望 ． 17. 如图，平行六面体 中，底面 是边长为 2 的正方形， 为 与 的交点， ． （ 1 ）证明： 平面 ； （ 2 ）求二面角 正弦值． 18. 已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交 于 两点，过 与 垂直的直线交 于 两点，其中 在 轴上方， 分别为 的中点． （ 1 ）证明：直线 过定点； （ 2 ）设 为直线 与直线 交点，求 面积的最小值． 19. 离散对数在密码学中有重要的应用．设 是素数，集合 ，若 ，记 为 除以 的余数， 为 除以 的余数；设 ， 两两不同，若 ，则称 是以 为底 的离散对数，记为 ． （ 1 ）若 ，求 ； （ 2 ）对 ，记 为 除以 的余数（当 能被 整除时， ）．证明： ，其中 ； （ 3 ）已知 ．对 ，令 ．证明： ． 2024 年 1 月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（九省联考）数学试题 注意事项： ] ．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上． 2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3 ．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据 16 ， 24 ， 14 ， 10 ， 20 ， 30 ， 12 ， 14 ， 40 的中位数为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】 B 【解析】 【分析】由中位数定义即可得 . 【详解】将这些数据从小到大排列可得： 10 ， 12 ， 14 ， 14 ， 16 ， 20 ， 24 ， 30 ， 40 ， 则其中位数为 16. 故选： B. 2. 椭圆 的离心率为 ，则 （ ） A. B. C. D. 2 【答案】 A 【解析】 【分析】由椭圆的离心率公式即可求解 . 【详解】由题意得 ，解得 ， 故选： A. 3. 记等差数列 的前 项和为 ，则 （ ） A. 120 B. 140 C. 160 D. 180 【答案】 C 【解析】 【分析】利用下标和性质先求出 的值，然后根据前 项和公式结合下标和性质