2022-2023学年湖南省长沙市明德中学高一下学期期中考试数学试题（详答案版）

明德中学 2023 年上学期期中考试 高一年级 数学试卷 2023 年 4 月 时量： 120 分钟 满分： 150 分 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的 4 个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ． 已知 ，则 x 的值为 （ ） A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 8 2 ． 已知集合 { 2 ， 3 ， 5 } ，且 M 中至少有一个奇数，则这样的集合 M 共有 （ ） A ． 5 个 B ． 6 个 C ． 7 个 D ． 8 个 3 ． 若复数 ，则 的虚部为 （ ） A ． B ． 1 C ． D ． 4 ． （ ） A ． B ． C ． D ． 5 ． 已知 m ， n 是两条不重合的直线， ， 是两个不重合的平面，下列 命题 正确的是 （ ） A ． 若 ， ， ， ， 则 B ． 若 ， ， ， 则 C ． 若 ， ， ， 则 D ． 若 ， ， ， 则 6 ． 若 ，使得不等式 成立，则实数 a 的取值范围 （ ） A ． B ． C ． D ． 7 ． 已知 O 是 △ABC 外接圆的圆心，若 ， ，则 （ ） A ． 10 B ． 20 C ．− 20 D ．− 10 8 ． 已知圆柱 的底面半径和母线长均为 1 ， A ， B 分别为圆 、圆 上的点，若 AB = 2 ，则异面直线 ， 所成的角为 （ ） A ． B ． C ． D ． 二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分 。 9 ． 下列关于复数 的四个命题，其中为真命题的是 （ ） A ． B ． C ． z 的 共轭 复数为 D ． z 是关于 x 的方程 的一个根 10 ． 下列说法正确的是 （ ） A ． 若 ， 则 或 B ． 是 函数 的一条对称轴 C ． D ． 若 ，则 在 方向上的投影向量的模为 11 ． 如图，在正方体 ABCD − A 1 B 1 C 1 D 1 中，点 P 在线段 B C 1 上运动，有下列判断， 其中正确的 是 （ ） A ． 异面直线 A 1 P 与 AD 1 所成角的取值范围是 B ． 三棱锥 D 1 − APC 的体积不变 C ． 平面 PB 1 D ⊥ 平面 ACD 1 D ． 若 AB = 1 ，则 CP + PD 1 的最小值为 1 2 ． 己知函数 的定义 域 为 R ， 为奇函数，且对于 任意 ，都有 ，则 （ ） A ． B ． C ． 为偶函数 D ． 为奇函数 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13 ． 已知函数 ， 则函数的零点为 _ ______ _ ． 14 ． 已知 ， ， ， 则 _ ______ _ ． 15 ． 已知复数 z 满足 ，则 的最小值是 _ ______ _ ． 16 ． 如图 ， 正方体 ABCD − A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长是 3 ， E 是 DD 1 上的动点， P 、 F 是上、下两底面上的动点， Q 是 EF 中点， EF = 2 ，则 PB 1 + PQ 的最小值是 _ ______ _ ． 四、解答题：本题共 6 小题 ， 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 ． 如图，已知圆锥的顶点为 P ， O 是底面圆心， AB 是底面圆的直径， PB = 5 ， OB = 3 ． （ 1 ）求圆锥的表面积； （ 2 ）经过圆锥的高 PO 的中点 O' 作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积 ． 18 ． 在 △ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， 且 ． （ 1 ） 求 C 的大小 ； （ 2 ）已知 ， 求 △ ABC 的面积的最大值 ． 19 ． 如图，在四棱锥 P − ABCD 中，底面 ABCD 是 菱形 ， ∠ ABC = 60 ° ， AB = 2 ， AC BD = O ， PO ⊥ 底面 ABCD ， PO = 2 ， 点 E 在棱 PD 上 ， 且 CE ⊥ PD ． （ 1 ）证明：平面 PBD ⊥ 平面 ACE ； （ 2 ）求二面角 P − AC − E 的余弦值 ． 20 ． 如图，在长方体 ABCD − A 1 B 1 C 1 D 1 中， AB = 1 ， AD = 2 ， E ， F 分别为 AD ， AA 1 的中点， Q 是 BC 上一个动点，且 （ ）． （ 1 ）当 时，求证：平面 BEF∥ 平面 A 1 DQ ； （ 2 ） 是否存在 ，使得 BD ⊥ FQ ？ 若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由 。 21 ． “方舱医院”原为解放军野战机动医疗系统中的一种，是可以移动的模块化卫生医疗平台，一般由医疗功能区、病房区等部分构成，具有紧急救治、外科处置、临床检验等多方面功能．某市有一块扇形地块，因疫情所需，当地政府现紧急划拨该地块为方舱医院建设用地．如图所示，平行四边形 OMPN 区域拟建成病房区，阴影区域拟建成医疗功能区，点 P 在弧 AB 上，点 M 和点 N 分别在线段 OA 和线段 OB 上，且 OA = 90 米， ． 记 ． （ 1 ） 当 时，求 ； （ 2 ）请写出病房区 OMPN 的面积 S 关于 的函数关系式，并求当 为何值时， S 取得最大值 ． 22 ． 已知定义域不为 R 的函数 （ k 为常数）为奇函数。 （ 1 ） 求实数 k 的值： （ 2 ） 若函数 （ ）， （ ） ， 是否存在实数 ， 使得 成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 ． 明德中学 2023 年上学期期中考试 高一 数学 参考答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B C D D C C 二、多项选择题：本题共 4 小题。每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求