2023
年高三拔尖强基定时期中质检
数学试题
注意事项:
1.
答卷前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名
.
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的
“
准考证号、姓名
”
与考生本人准考证号、姓名是否一致
.
2.
回答选择题时,选出每小题答案后,用
2B
铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑
.
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号
.
回答非选择题时,将答案写在答题卡上
.
写在本试卷上无效
.
3.
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
.
满分
150
分,考试用时
150
分钟
.
一、单项选择题:本题共
8
小题,每小题
5
分,共
40
分
.
在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求
.
1.
已知集合
,
,则下列结论正确的是
A.
B.
C.
D.
2.
如果复数
是纯虚数,则实数
的值为(
)
A.
0
B.
2
C.
0
或
3
D.
2
或
3
3.
若函数
同时满足:
(1)
对于定义域内的任意
,有
;
(2)
对于定义域内的任意
,当
时,有
,则称函数
为
“
理想函数
”
.
给出下列四个函数:
①
;
②
;
③
;
④
.
其中是
“
理想函数
”
的序号是
A.
①②
B.
②③
C.
②④
D.
③④
4.
已知函数
为偶函数,定义域为
R
,当
时,
,则不等式
的解集为(
)
A.
B.
C.
D.
5.
石碾子是我国传统粮食加工工具,如图是石碾子的实物图,石碾子主要由碾盘、碾滚(圆柱
形)和碾架组成.碾盘中心设竖轴(碾柱),连碾架,架中装碾滚,以人推或畜拉的方式,通过碾滚在碾盘上的滚动达到碾轧加工粮食作物的目的.若推动拉杆绕碾盘转动
2
周,碾滚的外边缘恰好滚动了
5
圈,碾滚与碾柱间的距离忽略不计,则该圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为(
)
A.
3
:
2
B.
5
:
4
C.
5
:
3
D.
4
:
3
6.
已知等差数列
的首项
,而
,则
(
)
A.
0
B.
2
C.
-1
D.
7.
已知
,
,
,则
,
,
大小关系为(
)
A.
B.
C.
D.
8.
四面体
的各个顶点都在球
的表面上,
两两垂直,且
是线段
上一点,且
,过
作四面体
外接球
的截面,则所得截面圆的面积的最大值与最小值之差是(
)
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题:本题共
4
小题,每小题
5
分,共
20
分
.
在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对得
5
分,部分选对得
2
分,有选错得
0
分
.
9.
已知函数
,则下列结论中正确的是(
)
A.
为函数
的一个周期
B.
是曲线
的一个对称中心
C.
若函数
在区间
上单调递增,则实数
最大值为
D.
将函数
的图象向右平移
个单位长度后,得到一个偶函数的图象
10.
已知
为坐标原点,抛物线
的焦点为
,准线为
,过点
的直线交抛物线于
两点,下列说法正确的有(
)
A.
线段
长度的最小值为
B.
过点
与抛物线只有一个交点的直线有两条
C.
直线
交抛物线的准线于点
,则直线
平行
轴
D.
可能
直角三角形
11.
已知
A
(
4
,
2
),
B
(
0
,
4
),圆
,
P
为圆
C
上的动点,下列结论正确的是(
)
A.
的最大值为
B.
的最小值为
C.
最小值为
D.
最大时,
12.
已知
,
,
,
,则有(
)
A.
B.
C
D.
三、填空题:本题共
4
小题,每小题
5
分,共
20
分
.
13.
如图,直三棱柱
,
,
,侧棱长为
,点
是侧面
内一点.当
最大时,过
、
、
三点的截面面积的最小值为
______
.
14.
若函数
y
=
sin
ωx
在区间
上单调递减,则
ω
的取值范围是
________
.
15.
已知直线
是函数
与函数
的公切线,若
是直线
与函数
相切的切点,则
____________
.
16.
已知
的三个内角
所对的边分别为
,且
,则
面积的最大值是
________
;若
分别为
的内切圆和外接圆半径,则
的范围为
_________________
.
四、解答题:本题共
6
小题,共
70
分
.
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
17.
已知数列
的前
项和为
,且满足
.
(
1
)
求证:数列
是等比数列;
(
2
)
若
,数列
的前
项和为
,求证:
.
18.
已知
的内角
的对边分别为
,且向量
与向量
共线
.
(
1
)
求
;
(
2
)
若
的面积为
,求
的值
.
19.
如图,在三棱柱
中,侧面
为矩形,平面
平面
,
分别是
的中点
.
(
1
)
求证:
平面
;
(
2
)
若侧面
是正方形,求直线
与平面
所成角的正弦值
.
20
.
北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高
.
某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动,为了深入了解学生在
“
自由式滑雪
”
和
“
单板滑雪
”
两项活动的参与情况,在该地随机选取了
10
所学校进行研究,得到如下数据:
(
1
)
从这
10
所学校中随机抽取
2
所,在抽取的
2
所学校参与
“
单板滑雪
”
的人数超过
30
人的条件下,求这
2
所学校参与
“
自由式滑雪
”
的人数超过
30
人的概率;
(
2
)
“
自由式滑雪
”
参与人数超过
40
人的学校可以作为
“
基地学校
”
,现在从这
10
所学校中随机抽取
3
所,记
为选出
“
基地学校
”
的个数,求
的分布列和数学期望;
(
3
)
现在有一个
“
单板滑雪
”
集训营,对
“
滑行、转弯、停止
”
这
重庆市北碚区西南大学附属中学校2023届高三(拔尖强基班)下学期期中数学试题(原卷全解析版)