北京市东城区北京二中2020-2021学年高二（下）期末考试数学试题（原卷全解析版）免费下载

北京市东城区北京二中 2020-2021 学年高二（下）期末 数 学 数学选择性必修三 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的） 1 ．在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 = A. B. C. D. 2 ．在 中，若 ， ，则 的面积为 A. B. C. D. 3. 某学生参加一次选拔考试，有 5 道题，每题 10 分，已知他解题的正确率为 ，若 分为最低分数线，则该生被选中的概率是 A. B. C. D. 4. 现将 5 张连号的电影票分给甲、乙等 5 个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为 A. B. C. D. 5. 已知等差数列 的前 项和为 , 若 ， ，则 A. B. C. D. 6. 随机变量 的分布列是 . 若 , 则 -2 1 2 A. B. C. D. 7. 若二项式 的展开式中仅有第 4 项的二项式系数最大，则展开式中 项的系数为 A. B. C. D. 8. 已知无穷数列 满足 （ 为常数）， 为 的前 项和，则 “ ” 是 “ 和 都有最小项的 A ．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件 9. 若 ，则 的值是 A. B. C. D. 10. 牛顿冷却定律描述一个物体在常温下的温度变化：如果物体的初始温度为 ，则经过一定时间 后的温度 将满足 ，其中 是环境温度， 称为半衰期，现有一杯 的热茶，放置在 的房间中，如果热茶降温到 ，需要 分钟，则欲降温到 , 大约需要多少分钟？ A. B. C. D. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11. 已知抛物线 过点 ，则他的准线方程为 ___________. 12. 若 ，则 __________. 13. 若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 _________. 14. 已知双曲线 的左顶点为 ，右焦点为 ， 为双曲线右支上一动点，则 最小值为 ______. 15. 已知函数 ， . 若方程 恰有 个互异的实数根，则实数 的取值范围 _____. 三、解答题（本大题共 小题，共 分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 16. （本小题满分 分） 已知数列 是公比为正数的等比数列， ， . 求数列 的通项公式 设数列 是首项为 1 ，公差为 2 的等差数列，求数列 的前 项和 17. （本小题满分 13 分） 如图，正方形 与梯形 所在平面互相垂直，已知 , , . 求证： 平面 . 求平面 与平面 夹角的余弦值 线段 上是否存在点 ，使平面 平面 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 . 18.( 本小题满分 12 分 ) 为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表 . 本数 本数 人数 人数 性别 性别 1 2 3 4 5 男生 1 4 3 2 2 女生 0 1 3 3 1 从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本书之和为 的概率？ 若从阅读名著不少于 本的学生中任选 人，设选到的男生人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望 试判断男学生阅读名著本数的方差 与女学生阅读名著本数的方差 的大小（只需写出结论） . 19.( 本小题满分 13 分 ) 已知函数 若 ，求曲线 在点 处的切线方程； 讨论函数 的单调性； 设 ，若函数 有两个零点，求 的取值范围 . 20. 已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，过椭圆内点 且不与 轴重合的动直线交椭圆 于 ， 两点，当直线 与 轴垂直时， , 求椭圆 的标准方程 设直线 和直线 分别交于点 ，若 恒成立，求 的值 . 21. （本小题满分 13 分） 已知集合 , , 记 ，用 表示有限集合 中元素的个数 . 若 ， 求集合 若 ，对任意满足 的集合 , 是否都存在集合 ，使得 ？请说明理由； 对任意满足 的集合 ，都存在集合 ，使得 , 求 的最小值 . 2021 北京二中高二（下）期末数学 参考答案 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的） 1 ．【答案】： B 2 ．【答案】： D 3. 【答案】： C 4. 【答案】： D 5. 【答案】： D 6. 【答案】： B 7. 【解答】：因为二次项展开式中中间项的二次式系数最大， 二项式 的展开式中仅有第 项的二项式系数最大， 所以展开式中共有 项，则 ， 展开式的通项为 ， 令 ，得 ， 则 的项系数为 . 【答案】： C 8. 【解答】：已知无穷数列满足 （ 为常数） 则 是等差数列，公差为 ， 所以 ， ， 容易知道， 和 都有最小项，则 . 反过来，若 ， 和 不一定都有最小项 . 例如 ， 时， . 此时 中无最小项 . “ ” 是 “ 和 都有最小项的必要而不充分条件 【答案】： B 9. 【解答】：令 ，得 ， 令 ，得 ， 则 . 【答案】： A 10. 【解答】：由题意可知 ，解得： ， 且 ，解得： ， 则 ，即大约需要 16 分钟 . 【答案】 C 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） 11. 【答案】： 12. 【答案】： 【解答】： ， ， . 13. 【答案】： 14. 【解答】：设 ，易得 , ， 又 ，故 ，于是 ， 则当 时，取到最小值 【答案】 15. 【解答】： 【答案】：在同一坐标系内分别作出 与 的图像如图所示 . 当 与 的图像相切时， 由 整理得： ， 则 ，解得 或 . 故当 与 的函数图像有四个交点时， 或 . 三、解答题（本大题共 小题，共 分。解答应写出文字