北京市延庆区2022-2023学年高二上学期期末数学试卷（原卷全解析版）

北京市 延庆区 2022-2023 学年第一学期期末试卷 高二数学 第 Ⅰ 卷（选择题） 一、选择题：共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ，集合 ， ，则（ ）． A. B. C. D. 2. 若复数 z 满足 ，则 z 虚部为（ ）． A. B. C. D. 3. 已知抛物线的焦点是 ，则抛物线的标准方程是（ ）． A. B. C. D. 4. 已知 ， ，动点 P 满足 ，则动点 P 的轨迹方程为（ ）． A. B. C. D. 5. 与圆 和 都外切的圆的圆心在（ ）． A. 一个椭圆上 B. 一条双曲线上 C. 一条抛物线上 D. 双曲线的一支上 6. “ 直线 和曲线 只有一个交点 ” 是 “ 与 相切 ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若双曲线的方程为 ，则它的离心率与渐近线方程分别为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 已知抛物线 和点 ， F 是抛物线的焦点， P 是抛物线上一点，则 的最小值是（ ）． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 9. 过抛物线 的焦点 F 的一条直线与此抛物线相交于 A ， B 两点，已知 ，则线段 的中点到抛物线准线的距离是（ ）． A B. C. 3 D. 10. 已知点 P 在抛物线 上，且 ，则 的最小值为（ ）． A. 2 B. C. 3 D. 4 第 Ⅱ 卷（非选择题） 二、填空题：共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 11. 函数 定义域为 __________ ． 12. 双曲线的一个焦点坐标是 ，且双曲线经过点 ，则双曲线的实轴长为 __________ ，标准方程为 __________ ． 13. 函数 值域为 __________ ． 14. 已知 中， ， ， ，则 __________ ， __________ ． 15. 已知双曲线 的左右焦点分别为 ， ， P 是双曲线上的一点，给出下列四个结论： ① 的最小值为 ； ② 若直线 l 的斜率与双曲线的渐进线的斜率相等，则直线 l 与双曲线只有一个公共点； ③ 点 P 到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为 ； ④ 若过 的直线与双曲线的左支相交于 A ， B 两点，如果 ，那么 ． 其中，所有正确结论的序号为 __________ ． 三、解答题：共 6 小题，共 85 分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤． 16. 根据下列条件，求圆的标准方程： （ 1 ）圆心在点 ，且过点 ； （ 2 ）过点 和点 ，半径为 2 ； （ 3 ） ， 为直径的两个端点； （ 4 ）圆心在直线 上，且过点 和点 ． 17. 如图，已知点 ， ，圆 ． （ 1 ）求过点 A 的圆的切线方程； （ 2 ）设过点 A ， B 的直线交圆 C 于 D ， E 两点，求线段 的长； （ 3 ）求经过圆 C 内一点 B 且被圆截得弦长最短的直线的方程． 18. 如图，在棱长为 4 的正方体 中，点 M 是 的中点． （ 1 ）求征： 平面 ； （ 2 ）求证： ； （ 3 ）求二面角 大小． 19. 已知椭圆 C 的两个焦点分别是 ， ，椭圆上的点 P 到两焦点的距离之和等于 ， O 为坐标原点，直线 与椭圆 C 相交于 A ， B （不重合）两点． （ 1 ）求椭圆 C 的标准方程； （ 2 ）求 m 的取值范围； （ 3 ）求 的最大值． 20. 已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上，焦距为 ，离心率为 ，过点 的直线 l 与椭圆 C 交于 A ， B （不重合）两点，坐标原点为 ． （ 1 ）求椭圆 C 的标准方程； （ 2 ）若线段 的中点的横坐标为 1 ，求直线 l 的方程； （ 3 ）若点 O 在以线段 为直径的圆上，求直线 l 的方程． 21. 对非空数集 定义 与 的和集 ．对任意有限集 A ，记 为集合 A 中元素的个数． （ 1 ）若集合 ， ，写出集合 与 ； （ 2 ）若集合 满足 ，且 ，求 ． 延庆区 2022-2023 学年第一学期期末试卷 高二数学 第 Ⅰ 卷（选择题） 一、选择题：共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ，集合 ， ，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】先化简集合 ， ，再由子集的概念可判断 A ；由集合的运算判断 BCD 【详解】因为 ， 或 ， 所以 不是 的子集，故 A 错误； ，故 B 错误； 或 ，故 C 错误； ，故 D 正确； 故选： D 2. 若复数 z 满足 ，则 z 的虚部为（ ）． A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】化简方程求出复数 的代数形式，结合复数虚部的定义确定其虚部 . 【详解】因为 ， 所以 ， 所以复数 的虚部为 ， 故选： C. 3. 已知抛物线的焦点是 ，则抛物线的标准方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】根据焦点坐标，确定开口方向和 ，即可求抛物线方程 . 【详解】因为抛物线的焦点是 ，所以开口向左，设抛物线方程为 ，又 ，则 ，所以抛物线方程为 . 故选： D 4. 已知 ， ，动点 P 满足 ，则动点 P 的轨迹方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，分析可得 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线，结合题意可得 ， ，计算出 的值，将其代入双曲线的方程即可得答案． 【详解】根据题意， ， ，则 ， 动点 满足 ，