北京市海淀区海淀实验中学2021-2022学年高二（上）期末数学（原卷全解析版）

北京 市 海淀 区海淀 实验中学 2 021- 2 022 高二 （上）期末 数 学 一、选择题（每题 4 分） 1. 在复平面内，复数 对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列直线中，倾斜角为 45° 的是（ ） A. B. C. D. 3. 若直线 与直线 垂直，则 a 值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 已知数列 满足 ，且 ，那么 等于（ ） A. B. C. D. 或 5. 如图，在四面体 中， ， ， ， D 为 BC 的中点， E 为 AD 的中点，则 可用向量 ， ， 表示为（ ） A B. C. D. 6. 平面 与平面 平行的充分条件可以是（ ） A. 平面 内有一条直线与平面 平行 B. 平面 内有两条直线分别与平面 平行 C 平面 内有无数条直线分别与平面 平行 D. 平面 内有两条相交直线分别与平面 平行 7. 若双曲线 （ ， ）的一条渐近线经过点 ，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知球 O 的半径为 2 ，球心到平面 的距离为 1 ，则球 O 被平面 截得的截面面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在三棱锥 中， 平面 ABC ， ， ， ，则点 A 到平面 PBC 的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 10. 如图， ， 是平面上的两点，且 ，图中的一系列圆是圆心分别为 ， 的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是 ， ， ， ， ， ， ， ， 是图中两组同心圆的部分公共点，若点 在以 ， 为焦点的椭圆 上，则（ ） A. 点 和 都在椭圆 上 B. 点 和 都在椭圆 上 C. 点 和 都在椭圆 上 D. 点 和 都在椭圆 上 11. 设 为直线 上任意一点，过 总能作圆 的切线，则 的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 12. 某综合实践小组设计了一个 “ 双曲线型花瓶 ”. 他们的设计思路是将某双曲线的一部分（图 1 中 A ， C 之间的曲线）绕其虚轴所在直线 l 旋转一周，得到花瓶的侧面，花瓶底部是平整的圆面，如图 2. 该小组给出了图 1 中的相关数据： ， ， ， ， ，其中 B 是双曲线的一个顶点 . 小组中甲 ､ 乙 ､ 丙 ､ 丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度），结果如下表所示 学生 甲 乙 丙 丁 估算结果（ ） 其中估算结果最接近花瓶的容积的同学是（ ）（参考公式： ， ， ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、填空题（每题 5 分） 13. 复数 的实部为 _________ ． 14. 圆 的圆心坐标为 ___________ ；半径为 ___________. 15. 在棱长为 1 的正方体 中， ___________. 16. 若直线 与直线 平行，则实数 的值是 _______________. 17. 在数列 中， ， ，则 ____________ ． 18. 如图，若正方体 的棱长为 1 ，则异面直线 AC 与 所成的角的大小是 __________ ；直线 和底面 ABCD 所成的角的大小是 __________ ． 19. 若抛物线 上一点 到 轴的距离是 4 ，则点 到该抛物线焦点的距离是 ___________. 20. 已知双曲线 M 的中心在原点，以坐标轴为对称轴 . 从以下三个条件中任选两个条件，并根据所选条件求双曲线 M 的标准方程 . ① 一个焦点坐标为 ； ② 经过点 ； ③ 离心率为 . 你选择的两个条件是 ___________ ，得到的双曲线 M 的标准方程是 ___________. 21. 椭圆 的右焦点为 ，过原点的直线与椭圆 交于两点 、 ，则 的面积的最大值为 ___________. 22. 关于方程 所表示的曲线，下列说法正确的是 __________ ． ① 关于 轴对称； ② 关于 轴对称； ③ 关于原点对称； ④ 关于直线 对称． 23. 若数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ 3 n 2 － 2 n ＋ 1 ，则数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ ________. 24. 如图，在矩形 中， ， ，将 沿 BD 所在的直线进行翻折，得到空间四边形 . 给出下面三个结论： ① 在翻折过程中，存在某个位置，使得 ； ② 在翻折过程中，三棱锥 的体积不大于 ； ③ 在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线 与 所成角 45°. 其中所有正确结论的序号是 ___________. 三、解答题（ 8 分 分 分 分 分） 25. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O 以原点为圆心，且经过点 . （ 1 ）求圆 O 的方程； （ 2 ）若直线 与圆 O 交于两点 A ， B ，求弦长 . 26. 如图，在直三棱柱 中， ， ， . M 为侧棱 中点，连接 ， ， CM . （ 1 ）证明： AC 平面 ； （ 2 ）证明： 平面 ； （ 3 ）求二面角 的大小 . 27. 已知抛物线 C ： 经过点 . （ 1 ）求抛物线 C 的方程及其准线方程； （ 2 ）经过抛物线 C 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于两点 M ， N ，且与抛物线的准线交于点 Q . 若 ，求直线 l 的方程 . 28. 已知椭圆 （ ）的离心率为 ，一个焦点为 . （ 1 ）求椭圆 的方程； （ 2 ）设 为原点，直线 （ ）与椭圆 交于不同的两点 ，且与 x 轴交于点 ， 为线段 的中点，点 关于 轴的对称点为 . 证明： 是等腰直角三角形 . 参考答案 一、选择题（每题 4 分） 1. 在复平面内，复数 对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】 B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算算出 ，然