北京市朝阳区六校联考2023-2024学年高三数学12月阶段性诊断练习数学试题（全解析版）

北京市朝阳区六校 联考 2023-2024 学年度第一学期阶段性诊断训练 高三数学试卷 2023.1 2 （考试时间 120 分钟 满分 150 分） 本试卷分为选择题 40 分和非选择题 110 分 第一部分（选择题 共 40 分） 选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项． 1. 在复平面内，对应的点的坐标是 ，则 的共轭复数 （      ） A ． B ． C ． D ． 2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（      ） A ． B ． C ． D ． 3. 下列双曲线中，焦点在 轴上且渐近线方程为 的是（      ） A ． B ． C ． D ． 4. 已知函数 在区间 单调递增，直线 和 为函数 的图像的两条相邻对称轴，则 （      ） A ． B ． C ． D ． 5. 将一个棱长为 1 的正方体放入一个圆柱内，正方体可自由转动，则该圆柱体积的最小值为（      ） A ． B ． C ． D ． 6. 已知 为正实数，则 “ ” 是 “ ” 的（      ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7. 某食品加工厂 2022 年获利 20 万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从 2023 年开始每年比上一年获利增加 20% ，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过 60 万元（ ， ）（      ） A ． 2026 年 B ． 2027 年 C ． 2028 年 D ． 2029 年 8. 已知平面上一点 ，若直线上存在点 P 使 ，则称该直线为 “ 切割型直线 ”. 下列直线 中是 “ 切割型直线 ” 的是（      ） ① ； ② ； ③ ； ④ . A ． ①③ B ． ①④ C ． ②③ D ． ③④ 9. 函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是 （ ） A ． B ． C ． D ． 10. 某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型（图甲），该模型由两个相同的部件拼接粘连制成，每个部件由长方形纸板 （图乙）沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形 卷后为圆柱 的侧面．为准确画出裁剪曲线，建立如图所示的以 为坐标原点的平面直角坐标系，设 为裁剪曲线上的点，作 轴，垂足为 ．图乙中线段 卷后形成的圆弧 （图甲），通过同学们的计算发现 与 之间满足关系式 ，现在另外一个纸板上画出曲线 ，如图丙所示，把沿虚线裁剪后的长方形纸板卷一周，求该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为（      ） A ． B ． C ． D ． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答案填在答题卡上． 11. 已知 ， ，若 与 垂直，则实数 . 12. 的展开式中 的系数为 （用数字作答）． 13. 已知抛物线 的焦点为 ，过 的动直线 与抛物线交于 两点，满足 的直线 有且仅有一条，则 ． 14. 已知 的内角 的对边分别为 ， ， ，且满足 ， ，则 ； 的中线 的最大值为 . 15. 设等差数列 的前 项和为 ，则有以下四个结论： ① 若 ，则 ② 若 ，且 ，则 且 ③ 若 ，且在前 16 项中，偶数项的和与奇数项的和之比为 3:1 ，则公差为 2 ④ 若 ，且 ，则 和 均是 的最大值 其中正确命题的序号为 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. （本小题满分 13 分） 如图，在四棱锥 中， ，四边形 ABCD 是正方形， ， E 是棱 PD 上的动点，且 . （Ⅰ） 证明： 平面 ABCD ； （Ⅱ） 是否存在实数 ，使得平面 PAB 与平面 AEC 所成夹角的余弦值 是 ？若存在 . 求出 的值；若不存在，请说明理由 . 17. （本小题满分 13 分） 已知函数 ，其中 ．再从 条件 ① 、条件 ② 、条件 ③ 中选择一个作为已知，使 存在，并完成下列两个问题． （ Ⅰ ）求 的值； （ Ⅱ ） 当 时，若曲线 与直线 恰有一个公共点，求 的取值范围． 条件 ① ： ； 条件 ② ： 是 的一个零点； 条件 ③ ： ． 18. （本小题满分 14 分） 垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值．某学校在寒假期间安排了 “ 垃圾分类知识普及实践活动 ” ．为了解学生的学习成果，该校对高一、高二年级全体学生进行了相关知识测试，然后从高一、高二各随机抽取了 20 名学生成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了整理的相关信息： 高一年级成绩分布表 等级 E D C B A 成绩（分数） 人数 1 2 3 4 10 （Ⅰ） 从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于 90 分的概率是多少？ （Ⅱ） 分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取 2 人，这三人中成绩不低于 90 分的人数记为 ，用频率估计概率，求 的分布列和期望？ （Ⅲ） 学校为提高对垃圾分类的了解情况需要在高一或高二进行一场讲座，假设讲座能够使学生成绩普遍提高一个等级，若高一高二学生数量一致，那么若要想高一和高二学生的平均分尽可能的高，需要在高一讲座还是高二讲座？（直接写