概率：随机变量及其分布（高考真题汇编）-2021--2023年3年全国高考数学试题（原卷全解析版）

概率：随机变量及其分布（高考真题汇编） 2021-2023 年 3 年全国高考数学试题全解析版 一．选择题（共 2 小题） 1 ．（ 2023• 甲卷）有 50 人报名足球俱乐部， 60 人报名乒乓球俱乐部， 70 人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（　　） A ． 0.8 B ． 0.4 C ． 0.2 D ． 0.1 2 ．（ 2021• 新高考Ⅱ）某物理量的测量结果服从正态分布 N （ 10 ， σ 2 ），则下列结论中不正确的是（　　） A ． σ 越小，该物理量在一次测量中落在（ 9.9 ， 10.1 ）内的概率越大 B ．该物理量在一次测量中大于 10 的概率为 0.5 C ．该物理量在一次测量中小于 9.99 与大于 10.01 的概率相等 D ．该物理量在一次测量中结果落在（ 9.9 ， 10.2 ）与落在（ 10 ， 10.3 ）的概率相等 二．填空题（共 4 小题） 3 ．（ 2022• 新高考Ⅱ）已知随机变量 X 服从正态分布 N （ 2 ， σ 2 ），且 P （ 2 ＜ X ≤2.5 ）＝ 0.36 ，则 P （ X ＞ 2.5 ）＝ 　 　 ． 4 ．（ 2022• 浙江）现有 7 张卡片，分别写上数字 1 ， 2 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ．从这 7 张卡片中随机抽取 3 张，记所抽取卡片上数字的最小值为 ξ ，则 P （ ξ ＝ 2 ）＝ 　 　 ， E （ ξ ）＝ 　 　 ． 5 ．（ 2022• 天津） 52 张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到 A 的概率为 　 　 ；已知第一次抽到的是 A ，则第二次抽取 A 的概率为 　 　 ． 6 ．（ 2021• 浙江）袋中有 4 个红球， m 个黄球， n 个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为 ξ ，若取出的两个球都是红球的概率为 ，一红一黄的概率为 ，则 m ﹣ n ＝ 　 　 ， E （ ξ ）＝ 　 　 ． 三．解答题（共 11 小题） 7 ．（ 2022• 甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10 分，负方得 0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5 ， 0.4 ， 0.8 ，各项目的比赛结果相互独立． （ 1 ）求甲学校获得冠军的概率； （ 2 ）用 X 表示乙学校的总得分，求 X 的分布列与期望． 8 ．（ 2022• 全国）甲、乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛，先赢得 3 局的运动员获胜，并结束比赛．设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲赢的概率为 ，乙赢的概率为 ． （ 1 ）求甲获胜的概率； （ 2 ）设 X 为结束比赛所需要的局数，求随机变量 X 的分布列及数学期望． 9 ．（ 2022• 北京）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 9.50 m 以上（含 9.50 m ）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位： m ）： 甲： 9.80 ， 9.70 ， 9.55 ， 9.54 ， 9.48 ， 9.42 ， 9.40 ， 9.35 ， 9.30 ， 9.25 ； 乙： 9.78 ， 9.56 ， 9.51 ， 9.36 ， 9.32 ， 9.23 ； 丙： 9.85 ， 9.65 ， 9.20 ， 9.16 ． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． （Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； （Ⅱ）设 X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计 X 的数学期望 EX ； （Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 10 ．（ 2021• 新高考Ⅰ）某学校组织 “ 一带一路 ” 知识竞赛，有 A ， B 两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束． A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分； B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分． 已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 0.8 ，能正确回答 B 类问题的概率为 0.6 ，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． （ 1 ）若小明先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X 的分布列； （ 2 ）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 11 ．（ 2023• 北京）为了研究某种农产品价格变化的规律，收集到了该农产品连续 40 天的价格变化数据，如表所示，在描述价格变化时，用 “+” 表示 “ 上涨 ” ，即当天价格比前一天价格高；用 “ ﹣ ” 表示 “ 下跌 ” ，即当天价格比前一天价格低；用 “0” 表示 “ 不变 ” ，即当天价格与前一天价格相同． 时段 价格变化 第 1 天到 第 20 天 ﹣ + + 0 ﹣ ﹣ ﹣ + + 0 + 0 ﹣ ﹣ + ﹣ + 0 0 + 第 21 天 到第 40 天 0 + + 0 ﹣ ﹣ ﹣ + + 0 + 0 + ﹣ ﹣ ﹣ + 0 ﹣ + 用频率估计概率． （Ⅰ）试估计该农产品 “ 上涨 ” 的概率； （Ⅱ）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的，在未来的日子里任取 4 天，试估计该农产品价格在这 4 天中 2 天 “ 上涨 ” 、 1 天 “ 下跌 ” 、 1 天 “ 不变 ” 的概率； （Ⅲ）假设该