浙江省9+1高中联盟2022-2023学年高二上学期期中数学试题（全解析版）

浙江省 9+1 高中联盟 2022-2023 学年高二上学期期中数学试题 一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 ． 小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1 ． 设集合 ， ，则 等于 （ ） A ． B ． C ． D ． 2 ． 若 ， ，则 “ 复数 为纯虚数 （ 㖷虚数单位 ） ” 是 “ ” 的 （ ） A ． 充要条件 B ． 充分不必要条件 C ． 必要不充分条件 D ． 既不充分也不必要条件 3 ． 向量 ， 分别是直线 ， 的方向向量 ， 且 ， ，若 ， 则 （ ） A ． 12 B ． 14 C ． 16 D ． 18 4 ． 已知定义域为 的奇函数 ， 满足 ， 且当 时 ， ， 则 的值为 （ ） A ． B ． 0 C ． 1 D ． 2 5 ． 若圆锥的表面积为 ， 其侧面展开图为一个半圆 ， 则下列结论正确的为 （ ） A ． 圆锥的母线长为 1 B ． 圆锥的底面半径为 2 C ． 圆锥的体积为 D ． 圆锥的侧面积为 6 ． 在三棱锥 中 ， ， 且 ， ， 分别是棱 CD ， AB 的中点 ， 则 EF 和 AC 所成的角等于 （ ） A ． 30 ° B ． 45 ° C ． 60 ° D ． 90 ° 7 ． 已知 ， ， ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 8 ． 在正方体 中 ， 点 满足 ， 且 ， 直线 与平面 所成角为 ， 若二面角 的大小为 ， 则 的最大值是 （ ） A ． B ． C ． D ． 二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ． 每小题列出的四个备选项中，有多项符合题目要求 ． 全部选对的得 5 分 ， 部分选对的得 2 分 ， 有选错的得 0 分 ） 9 ． 设 m ， n 是两条不同的直线 ， ， 是两个不同的平面 ， 则下列命题正确的有 （ ） A ． 若 ， ， ， ，则 B ． 若 ， ，则 C ． 若 ， ，则 D ． 若 ， ， ，则 10 ． 已知 ， 对于 ， ， 下述结论正确的是 （ ） A ． B ． C ． D ． 11 ． 已知 ， 双曲线 的两个焦点 ， 为双曲线 上任意一点 ， 则 （ ） A ． B ． C ． 双曲线 的离心率为 D ． 双曲线 的渐近线方程为 12 ． 在正三棱锥 中 ， ， ， ， ，分别为 BC ， PC 的中点 ， 若点 是此三棱锥表面上一动点 ， 且 ， 记动点 围成的平面区域的面积为 ， 三棱锥 的体积为 ， 则 （ ） A ． 当 时 ， B ． 当 时 ， C ． 当 时 ， D ． 当 时 ， 三、填空题（本 题 共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13 ． 将函数 的图象向右平移 个单位长度后的图象过原点，则 的最小值 ______ ． 14 ． 若点 在幂函数 的图象上 ， 则 的值为 ______ ． 15 ． 已知四面体 ABCD 中 ， ， 平面 ， 平面 ABD ， 则四面 体 ABCD 外接球的半径是 ______ ． 16 ． 已知 ， 分别是椭圆 的左石焦点 ， 是椭圆 上一点 ， 若线段 上有且中点 满足 （ 其中 是坐标原点 ） ，则椭圆 的离心率是 ______ ． 四、解答题（本题共 6 小题 ， 共 70 分 ． 解答应写出文字说明 ， 证明过程或演算步骤） 17 ． （本题满分 10 分 ） 已知圆 的圆心在 轴上 ， 且经过点 ， ． （ 1 ）求圆 的标准方程 ； （ 2 ）若过点 的直线 与圆 相交于 M ， N 两点，且 ，求直线 的方程． 18 ．（ 本题满分 12 分 ） 已知函数 ． （ 1 ）求函数 的值域 ； （ 2 ）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 19 ．（ 本题满分 12 分 ） 某校对 2022 学年高二年级上学期期中数学考试成绩 （ 单位：分 ） 进行分析 ， 随机抽取 100 名学生 ， 将分数按照 ， ， ， ， ， 分成 6 组 ， 制成了如图所示的频率分布直方图 ： （ 1 ）估计该校高二年级上学期期中数学考试成绩的第 80 百分位数； （ 2 ）为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在 和 的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取 5 名学生，再从这 5 名学生中随机抽取 2 名学生进行问卷调查，求抽取的这 2 名学生至少有 1 人成绩在 内的概率 ． 20 ．（ 本题满分 12 分 ） 已知四棱锥 中 ， ， ， ， ， ， ． （ 1 ）求证： ； （ 2 ）求直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦值． 21 ． （本题满分 12 分） 在① ，② 这两个条件中任选一个 ， 补充在下面的横线上 ， 并加以解答 ． 已知 的内角 A ， B ， C 的所对的边分别为 a ， b ， c ， ______ ． （ 1 ）若 ， 求 ； （ 2 ）求 的最大值． 22 ．（ 本题满分 12 分 ） 已知点 在圆 上运动 ， 过点 作 轴的垂线段 PQ ， Q 为垂足 ， 动点 满足 ． （ 1 ） 求动点 的轨迹方程 ； （ 2 ）过点 的动直线 与曲线 交于 A ， B 两点，与圆 交于 C ， D 两点． （ i ）求 的最大值； （ ii ）是否存在定点 T ， 使得 的值是定值？若存在，求出点 的坐标及该定值 ； 若不存在 ， 请说明理由 ． 高二数学参考答案 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 ． 每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 ৪ 答案 D B B A C B A C 二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 ． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 ． 全部选对的