北京市朝阳区
2021-
2022
学年
高二（上）期末
数
学
一、选择题（本大题共
10
小题，每小题
5
分，共
50
分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1
．点
到直线
的距离是
A
．
B
．
C
．
1
D
．
2
．
与
的等差中项是
A
．
B
．
C
．
4
D
．
5
3
．已知直线
过点
，且与直线
垂直，则直线
的方程是
A
．
B
．
C
．
D
．
4
．已知函数
，则
A
．
B
．
C
．
D
．
5
．已知圆
与圆
外切，则
A
．
1
B
．
2
C
．
3
D
．
4
6
．曲线
在点
，
（
1
）
处的切线方程为
A
．
B
．
C
．
D
．
7
．已知等比数列
的公比为
，
，则
“
”
是
“
为递减数列
”
的
A
．充分不必要条件
B
．必要不充分条件
C
．充分必要条件
D
．既不充分也不必要条件
8
．点
是正方体
的底面
内（包括边界）的动点．给出下列三个结论：
①
满足
的点
有且只有
1
个；
②
满足
的点
有且只有
1
个；
③
满足
平面
的点
的轨迹是线段．
则上述结论正确的个数是
A
．
0
B
．
1
C
．
2
D
．
3
9
．已知
，
是圆
上的两点，
是直线
上一点，若存在点
，
，
，使得
，则实数
的取值范围是
A
．
，
B
．
，
C
．
D
．
10
．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于
与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体在每个顶点有
3
个面角，每个面角是
，所以正四面体在每个顶点的曲率为
，故其总曲率为
．给出下列三个结论：
①
正方体在每个顶点的曲率均为
；
②
任意四棱锥的总曲率均为
；
③
若某类多面体的顶点数
，棱数
，面数
满足
，则该类多面体的总曲率是常数．
其中，所有正确结论的序号是
A
．
①②
B
．
①③
C
．
②③
D
．
①②③
二、填空题（本大题共
6
小题，每小题
5
分，共
30
分）
11
．设函数
，则
．
12
．已知抛物线的焦点到准线的距离为
1
，则抛物线的标准方程为
．（写出一个即可）
13
．日常生活中的饮用水通常是经过净化的．随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将
1
吨水净化到纯净度为
时所需费用（单位：元）为
．则净化到纯净度为
时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为
时所需费用的瞬时变化率的
倍，这说明，水的纯净度越高，净化费用增加的速度越
（填
“
快
”
或
“
慢
”
．
14
．已知双曲线
的右焦点为
，过点
作
轴的垂线
，
在第一象限与双曲线及其渐近线分别交于
，
两点．若
，则双曲线的离心率为
．
15
．已知数列
的前
项和为
，
，则
，
．
16
．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点
，
的距离之比为定值
的点的轨迹是圆．人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点
，
，动点
满足
，记动点
的轨迹为曲线
，给出下列四个结论：
①
曲线
的方程为
；
②
曲线
上存在点
，使得
到点
的距离为
6
；
③
曲线
上存在点
，使得
到点
的距离大于到直线
的距离；
④
曲线
上存在点
，使得
到点
与点
的距离之和为
8
．
其中所有正确结论的序号是
．
三、解答题（本大题共
5
小题，共
70
分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
17
．（
13
分）已知
是等差数列，
，
．
（
Ⅰ
）求
的通项公式；
（
Ⅱ
）若数列
是公比为
3
的等比数列，
，求数列
的前
项和
．
18
．（
13
分）如图，在四棱锥
中，底面
为菱形，
，
底面
，
，
是
的中点．
（
Ⅰ
）求证：
平面
；
（
Ⅱ
）求证：平面
平面
；
（
Ⅲ
）设点
是平面
上任意一点，直接写出线段
长度的最小值．（不需证明）
19
．（
15
分）如图，直四棱柱
中，底面
是边长为
1
的正方形，点
在棱
上．
（
Ⅰ
）求证：
；
（
Ⅱ
）从条件
①
、条件
②
、条件
③
这三个条件中选择两个作为已知，使得
平面
，并给出证明．
条件
①
：
为
的中点；
条件
②
：
平面
；
条件
③
：
．
（
Ⅲ
）在（
Ⅱ
）的条件下，求平面
与平面
夹角的余弦值．
20
．（
14
分）已知椭圆
过点
，离心率为
．
（
Ⅰ
）求椭圆
的方程；
（
Ⅱ
）过点
作直线
，
与直线
和椭圆
分别交于两点
，
与
不重合）．判断以
为直径的圆是否过定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由．
21
．（
15
分）已知项数为
的数列
是各项均为非负实数的递增数列．若对任意的
，
，
与
至少有一个是数列
中的项，则称数列
具有性质
．
（
Ⅰ
）判断数列
0
，
1
，
4
，
6
是否具有性质
，并说明理由；
（
Ⅱ
）设数列
具有性质
，求证：
；
（
Ⅲ
）若数列
具有性质
，且
不是等差数列，求项数
的所有可能取值．
参考答案
一、选择题（本大题共
10
小题，每小题
5
分，共
50
分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1
．【分析】根据题意，由点到直线的距离公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，点
到直线
的距离
，
北京市朝阳区2021-2022学年高二（上）期末数学（原卷全解析版）
