安徽省滁州市定远县育才学校2022-2023学年高二上学期期末数学试题 （原卷全解析版）

定远育才学校 2022-2023 学年第一学期期末考试 高二数学 一、选择题（本大题共 8 小题，共 40 分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列命题正确的是（ ） A. 若 与 共线， 与 共 线，则 与 共线 B. 向量 ， ， 共面，即它们所在的直线共面 C. 若 ∥ ，则存在唯一的实数 λ ，使 =λ D. 零向 量是模为 0 ，方向任意的向量 2. 已知三棱锥 ，点 M ， N 分别为 ， 的中点，且 ， ， ，用 ， ， 表示 ，则 等于（　　） A. B. C D. 3. 已知空间向量 ， ，且 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知 ， ，动点 P 在直线 上，当 取最小值时，点 P 的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 直线 过圆 的圆心，并且与直线 垂直，则直线 的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆 C ： ＋ ＝ 1( a ＞ b ＞ 0) 的右焦点为 F ，过点 F 作圆 的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆 C 的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 动点 分别与两定点 ， 连线 斜率的乘积为 ，设点 的轨迹为曲线 ，已知 ， ，则 的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 12 8. 已知双曲线 的右顶点为 ，过点 作圆 的两条切线 ，切点分别为 ，则 的面积为（ ） A. B. 1 C. D. 二、多选题（本大题共 4 小题，共 20 分．在每小题有多项符合题目要求） 9. 已知正方体 的棱长为 ，下列四个结论中正确的是（ ） A. 直线 与直线 所成的角为 B. 直线 与平面 所成角的余弦值为 C. 平面 D. 点 到平面 的距离为 10. 下列选项正确的是（    ） A. 过点 且和直线 平行的直线方程是 B. “ ” 是 “ 直线 与直线 互相垂直 ” 的充要条件 C. 若直线 与 平行，则 与 距离为 D. 直线 的倾斜角 的取值范围是 11. 已知椭圆 的左､右焦点为 ､ ，点 为椭圆上的点 不在 轴上），则下列选项中正确的是（ ） A. 椭圆 的长轴长为 B. 椭圆 的离心率 C. △ 的周长为 D. 的取值范围为 12. 已知直线 l 与抛物线 （ ）交于 A ， B 两点， ， ，则下列说法正确的是（ ） A. 若点 D 的坐标为 ，则 B 直线 过定点 C. D 点 轨迹方程为 （原点除外） D. 设 与 x 轴交于点 M ，则 的面积最大时，直线 的斜率为 1 三、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分） 13. ， ，则 ， 的夹角为 ___________ . 14. 已知 的顶点 ， 的平分线所在的直线方程为 ，边 的高所在的直线方程为 ，则直线 的方程为 ______ ． 15. 已知圆 ，若圆 与圆 关于直线 对称，且与直线 交于 、 两点，则 的取值范围是 __________ ． 16. 设 、 分别是椭圆 的左、右焦点，点 P 在椭圆上，且 ， ，若 ，则椭圆的标准方程为 ___________. 四、 解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知向量 ， . （ 1 ） 求 的值； （ 2 ） 求向量 与 夹角的余弦值 . 18. 在四棱锥 中 ， 是等边三角形 ， 底面 是直角梯 形 ， ， ， 是线段 的中点 ， 底面 ， 已知 . （ 1 ） 求二面角 的正弦值 ； （ 2 ） 试在平面 上找一点 ， 使得 平面 . 19. 已知点 A ， B 分别是直线 和直线 上的点，点 P 为 的中点，设点 P 的轨迹为曲线 C. （ 1 ）求曲线 C 的方程； （ 2 ）过点 的直线 与曲线 C ， x 轴分别交于点 M ， N ，若点 D 为 的中点，求直线 的 方程 . 20. 已知点 M (3 ， 1) ，圆 O 1 ： ( x ﹣ 1) 2 +( y ﹣ 2) 2 =4. （ 1 ）若直线 ax ﹣ y +4=0 与圆 O 1 相交于 A ， B 两点，且弦 AB 的长为 ，求 a 的值； （ 2 ）求过点 M 的圆 O 1 的切线方程 . 21. 已知椭圆的焦点在 轴上，且过点 ，焦距为 ，设 为椭圆上的一点， 、 是该椭圆的两个焦点，若 ，求： （ 1 ） 椭圆的标准方程 （ 2 ） 的面积． 22. 如图平面直角坐标系 中，直角三角形 ， ， ， 、 在 轴上且关于原点 对称， 在边 上， ， 的周长为 ，若 双曲线 以 、 为焦点，且经过 、 两点． . （ 1 ） 求双曲线 的渐近线方程； （ 2 ） 若一过点 （ m 为非零常数）的直线与双曲线 相交于不同于双曲线顶点的两点 、 ，且 ，问在 x 轴上是否存在定点 G ，使 ？若存在，求出所有这样定点 的坐标；若不存在，请说明理由 . 定远育才学校 2022-2023 学年第一学期期末考试 高二数学 一、选择题（本大题共 8 小题，共 40 分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列命题正确的是（ ） A. 若 与 共线， 与 共 线，则 与 共线 B. 向量 ， ， 共面，即它们所在的直线共面 C. 若 ∥ ，则存在唯一的实数 λ ，使 =λ D. 零向量是模为 0 ，方向任意的向量 【答案】 D 【解析】 【分析】 假设 为零向量，可判断选项 A ； 根据向量的特征，可判断选项 B ； 根据向量共线定理，可判断选项 C ； 根据零向量 定义，可判断选项 D. 【详解】 由于零向量与任意向量共线，所以若 为零向量，则 与 关系不确定， A 错； 因为向量是可以平行移动的，因此向量共面时，它们所在的直线不一定共面， B 错； 共线向