四川省蓬溪中学校2023-2024学年高三上学期第一次月考理科数学试题(原卷全解析版）

高 2021 级第五学期第一次月考数学试卷理科 一、单选题（每小题 5 分，共 60 分） 1. 已知集合 ，则 （      ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，与函数 表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 3. “ ” 是 “ ” （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数 的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知命题 若幂函数 过点 ，则 ；命题 在 中， 是 的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（      ） A. B. C. D. 6. 函数 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围为（      ） A. B. C. D. 8. 若 ，则下列各式的值等于 1 的是（      ） A. B. C. D. 9. 已知函数 在 处有极大值，则 的值为（      ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 1 或 3 10. 已知定义在 上的奇函数 满足： 的图象是连续不断的且 为偶函数 . 若 有 ，则下面结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数 ，若关于 x 的方程 有四个不同的根 （ ），则 的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13. 曲线 在点 处的切线方程是 __________ 14. 若 ， 为假命题，则 的取值范围为 ___________ . 15. 设 ，则不等式 的解集为 ____________ . 16. 已知符号 表示不超过 x 的最大整数，若函数 ，则给出以下四个结论： ① 值域为 ； ② 为偶函数； ③ 在 上是减函数； ④ 若方程 有且仅有 3 个根，则 取值范围是 . 其中正确的序号为 _________ ． 三、解答题（共 70 分） 17. 已知集合 ， ， . （ 1 ） 设 ， ，若 为真，求 的取值范围； （ 2 ） 若 ，求实数 的取值范围 . 18. 等差数列 的前 项和为 ，满足 . （ 1 ） 求 的通项公式； （ 2 ） 设 ，求证数列 为等比数列，并求其前 项和 . 19. 已知 . （ 1 ） 求 的单调递增区间； （ 2 ） 求 在 上的最大值和最小值 . 20. 设 . （ 1 ） 求 在 上的最值； （ 2 ） 若过点 可作曲线 的三条切线，求 的取值范围 . 21. 设 ， . （ 1 ） 当 时，求 的极值； （ 2 ） 若 有 恒成立，求 的取值范围； （ 3 ） 当 时，若 ，求证： . 四、选做题（共 10 分） 22. 已知在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）．以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （ 1 ） 求曲线 和直线 的直角坐标方程； （ 2 ） 若直线 交曲线 于 两点，交 轴于点 ，求 值． 23. 已知函数 ． （ 1 ） 求 解集； （ 2 ） 若函数 的最小值为 ，且 ，求 的最小值 . 高 2021 级第五学期第一次月考数学试卷理科 一、单选题（每小题 5 分，共 60 分） 1. 已知集合 ，则 （      ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 根据题意，由交集的运算，即可得到结果 . 【详解】 ∵ ， ， ∴ . 故选： C 2. 下列函数中，与函数 表示同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【分析】 通过分析函数的定义域、值域和对应关系，由此确定正确选项 . 【详解】 函数 的定义域和值域都为 R . 对于 A 选项，函数 的定义域为 ，故与 不相同 . 对于 B 选项， ，定义域、值域都为 R ，对应关系为 ，故与 相同 . 对于 C 选项，函数 的值域为 ，故与 不相同 . 对于 D 选项，函数 定义域为 ，故与 不相同 . 故选： B. 3. “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】 【分析】 根据不等式的性质结合必要不充分条件的判定方法求解即可 . 【详解】 当 时， 或 或 ，所以 “ ” 推不出 “ ” ， 但是当 时， ，所以 “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件. 故选： B 4. 函数 的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 根据零点存在定理判断． 【详解】 ， ， ， ∴ 零点在区间 上． 故选： C ． 【点睛】本题考查零点存在定理，掌握零点存在定理是解题基础． 5. 已知命题 若幂函数 过点 ，则 ；命题 在 中， 是 的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（      ） A B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 由幂函数的性质判断 ，由正弦定理判断 ，再由逻辑联结词的概念判断． 【详解】 命题 ，设 ，∵ ，∴ ，则 ， ∴ ，所以 是真命题 . 命题 ，在三角形 中，若 ，由正弦定理得 ，所以 ； 若 ，则 ，由正弦定理得 . 所以 是 的充要条件，所以命题 是假命题 . 所以 、 、 是假命题， ABC 选项错误 . 是真命题， 故选： D 6. 函数 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 【分析】 根据偶函数排除 C 、 D ，再计算 ，可排除 B ，从而可得到答案 . 【详解】 的定义域为 ， 因为 ， 所以 在 上为偶函数，可排除 C 、 D ； 又 ，可排除 B. 故选： A. 7. 若函数