五、圆锥曲线(高考真题分类汇编）——三年（2021-2023）高考数学真题精编专辑（共七份）

五 、 圆锥曲线 —— 三年（ 2021-2023 ）高考数学创新真题精编 1. 【 2023 年上海卷】 已知曲线 ，第一象限内的点 A 在 上，设 A 的纵坐标是 a . (1) 若点 A 到 的准线的距离为 3 ，求 a 的值； (2) 若 ， B 为 x 轴上一点，线段 AB 的中点在 上，求点 B 的坐标和坐标原点 O 到直线 AB 的距离； (3) 设直线 ， P 是第一象限 上异于 A 的一点，直线 AP 交直线 l 于点 Q ，点 H 是点 P 在直线 l 上的投影，若点 A 满足性质 “ 当点 P 变化时， 恒成立 ” ，求 a 的取值范围 . 2. 【 2023 年天津卷】 已知 椭圆 的左、右顶点分别为 ， . 右焦点为 F ，已知 ， . ( 1 ) 求椭圆 的 方程 和 离心率 e ； ( 2 ) 已知点 P 是椭圆上一动点 ( 不与 端 点重合 ) ，直线 交 y 轴于点 Q ，若 的面积是 面积的二倍，求直线 的方程 . 3. 【 2022 年新高考Ⅱ卷】 已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 . （ 1 ）求 C 的方程； （ 2 ）过 F 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A ， B 两点，点 ， 在 C 上，且 ， . 过 P 且斜率为 的直线与过 Q 且斜率为 的直线交于点 M ，请从下面 ①②③ 中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立： ① M 在 AB 上； ② ； ③ . 4. 【 2021 年全国甲卷文科】 抛物线 C 的顶点为坐标原点 O ，焦点在 x 轴上，直线 交 C 于 P ， Q 两点，且 . 已知点 ，且 与 l 相切 . （ 1 ）求 C ， 的方程 . （ 2 ）设 ， ， 是 C 上的三个点，直线 ， 均与 相切 . 判断直线 与 的位置关系，并说明理由 . 5. 【 2021 年全国甲卷理科】 已知抛物线 的焦点为 F ，且 F 与圆 上点的距离的最小值为 4. （ 1 ）求 p . （ 2 ）若点 P 在 M 上， PA 、 PB 是 C 的两条切线， A 、 B 是切点，求 面积的最大值 . 6. 【 2021 年新高考Ⅰ卷】 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 ， ，点 M 满足 ，记 M 的轨迹为 C . （ 1 ）求 C 的方程； （ 2 ）设点 T 在直线 上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A ， B 两点和 P ， Q 两点，且 ，求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和 . 7. 【 2021 年新高考Ⅱ卷】 已知椭圆 C 的方程为 ，右焦点为 ，且离心率为 . （ 1 ） 求椭圆 C 的方程 ； （ 2 ） 设 M ， N 是椭圆 C 上的两点 ， 直线 MN 与曲线 相切 . 证明 ： M ， N ， F 三点共线的充要条件是 . 8. 【 2021 年北京卷】 已知椭圆 过点 ，以四个顶点围成的四边形面积为 . （ 1 ）求椭圆 E 的标准方程； （ 2 ）过点 的直线 l 斜率为 k ，交椭圆 E 于不同的两点 B ， C ，直线 AB 交 于点 M ，直线 AC 交 于点 N ，若 ，求 k 的取值范围 . 9. 【 2021 年上海卷】 已知 ， ， 是其左右焦点， ，直线 l 过点 P 交 于 A ， B 两点，点 在 x 轴上方，其中 A 在线段 BP 上 . （ 1 ）若 B 是上顶点， ，求 m ； （ 2 ）若 ，且原点 O 到直线 l 的距离为 ，求直线 l 的方程； （ 3 ）证明：对于任意 ，总存在唯一一条直线使得 . 答案以及解析 1. 答案： (1) (2) (3) 解析： (1) 由题意， 的准线方程为 ， ， 则 ，得 . 又 ， . (2) 由题意知， ， 设 ，则 AB 中点的坐标为 ，代入 ，得 ， ， 点 B 的坐标为 . 则直线 AB 的斜率为 ， 直线 AB 的方程为 ，即 . 坐标原点 O 到直线 AB 的距离为 . (3) 由题意知， ， 设 ，则 ，直线 AP 的斜率 ， 直线 AP 的方程为 ， . 恒成立， 即 恒成立 . 当 时，由 得 ，则 恒成立；当 ，即 时， 恒成立 . 综上， a 的取值范围是 . 2. 答案： (1) 椭圆的方程为 ，离心率 (2) 解析： (1) 如图，由題意可知 ， 故 ，则 ， 所以椭圆的方程为 ， 此椭圆的离心率 . (2) 由题易知直线 的斜率存在且不为 0 ， 所以可设直线 的方程为 . 由 ，可得 ， 设 ，则由根与系数的关系可知 ， 即 ，则 . 由直线 交 y 轴于点 Q 可得 ， 所以 ， ， 因为 ，所以 ， ① 当 时， ，即有 ， 解得 ，不符合题意，舍去 . ② 当 时， ，即有 ，解得 . 故直线 的方程为 . 3 、 （ 1 ）答案： 解析：由题意得 ， ， 解得 ， ， 所以双曲线 C 的方程为 . （ 2 ）答案：见解析 解析：设直线 PQ 的方程为 ，由题意知 . 由 得 . ，故 ， 故 ， ， . 设 ，则 ， ， 于是 ， . 因为 ， ， 所以 ， . 因此 ， . 因此点 M 的轨迹方程为 . 选择 ①② 作为条件，证明 ③ 成立 . 由 可得直线 AB 的方程为 . 点 M 的坐标满足 ，解得 ， . 设 ， ， ， . 由 ，解得 ， . 同理可得 ， . 于是 ， . 因此点 M 为 AB 的中点，即 . 选择 ①③ 作为条件，证明 ② 成立 . 当直线 AB 的斜率不存在时，点 M 与点 重合，此时点 M 不在直线 上，矛盾 . 当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 ， ， ， ， . 由 ，解得 ， . 同理可得 ， . 于是 ， . 因为点 M 在直线 上，所以 ，即 . 因此 . 选择 ②③ 作为条件，证明 ① 成立 . 由 可得直线 AB 的方程为 ， 设 ， ， ， . 由 ，解得 ， . 同理可得 ， . 设 AB 的中点为 ，则 ， . 因为 ，所以点 M 在 AB 的垂直平分线上，即 M 在直线 上 . 由 ，得 ， ， 即 M 恰为 AB 的中点 . 因此点 M 在直线 AB