北京市清华附中2021-2022学年高一（上）期末数学试题（原卷全解析版）

北京市 清华附中 2 021- 2 022 学年 高一 （上） 期末 数 学 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ 一、单选题 1 ．若集合 ， ，则 A ． B ． C ． D ． 2 ．已知命题 ， 则 是（　　） A ． ， B ． ， C ． ， D ． ， 3 ．已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ） A ． B ． C ． D ． 4 ．下列四个函数中，以 为最小正周期，且在区间 上为减函数的是 A ． B ． C ． D ． 5 ．已知 是函数 的反函数，则 的值为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 10 D ． 100 6 ．在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，终边与单位圆交于点 ，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 7 ．已知 ．则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 8 ．已知指数函数 ，将函数 的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的 倍，得到函数 的图象，再将 的图象向右平移 个单位长度，所得图象恰好与函数 的图象重合，则 a 的值是（ ） A ． B ． C ． D ． 9 ．已知函数 （ ）的部分图象如图所示，则 的值分别为 A ． B ． C ． D ． 10 ．已知函数 ， ，若存在实数 ， 使得 ，则 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 二、填空题 11 ．已知 ，则 的值为 ___________. 12 ．已知函数 ，且函数 恰有两个不同的零点，则实数 的取值范围是 ___________. 13 ．已知 表示 ， ， … ， 这 个数中最大的数 . 能够说明 “ ， ， c ， ， ” 是假命题的一组整数 ， ， ， 的值依次为 ___________. 14 ．已知函数 ，给出下列四个命题： ① 函数 是周期函数； ② 函数 的图象关于点 成中心对称； ③ 函数 的图象关于直线 成轴对称； ④ 函数 在区间 上单调递增 . 其中，所有正确命题的序号是 ___________. 三、双空题 15 ．已知 ，则函数 的最大值为 ___________ ，最小值为 ___________. 四、解答题 16 ．求下列关于 的不等式的解集： (1) ； (2) 17 ．己知集合 ， ，其中 且 (1) 当 时，求 及 ； (2) 若集合 且 ，求 的取值范围 . 18 ．已知函数 . (1) 求函数 的最小正周期和单调递增区间； (2) 求函数 在区间在区间 上的最大值和最小值 . 19 ．已知函数 . (1) 若 的图象恒在直线 上方，求实数 的取值范围； (2) 若不等式 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围 . 20 ．已知 ， ， ， . (1) 求 的值； (2) 求 的值： (3) 求 的值 . 21 ．己知函数 的定义域为 ，若存在实数 ，使得对于任意 都存在 满足 ，则称函数 为 “ 自均值函数 ” ，其中 称为 的 “ 自均值数 ”. (1) 判断函数 是否为 “ 自均值函数 ” ，并说明理由： (2) 若函数 ， 为 “ 自均值函数 ” ，求 的取值范围； (3) 若函数 ， 有且仅有 1 个 “ 自均值数 ” ，求实数 的值 . 2 022 北京清华附中高一 （上） 期末数学 参考答案 1 ． C 【解析】 【详解】 因为集合 ， , 所以 , 故选 C. 2 ． C 【解析】 【分析】 由全称命题的否定是特称命题即可得结果 . 【详解】 由全称命题的否定是特称命题知： ， ， 是 ， ， 故选： C. 3 ． C 【解析】 根据函数的性质，指对数 先和 0 ， 1 比较大小，再比较 的大小 . 【详解】 由函数单调性可知 ， ， ， ， 所以 . 故选： C 4 ． A 【解析】 【详解】 最小正周期 ，且在区间 上为减函数，适合； 最小正周期为 ，不适合； 最小正周期为 ，在区间 上不单调，不适合； 最小正周期为 ，在区间 上为增函数，不适合 . 故选 A 5 ． A 【解析】 【分析】 根据给定条件求出 的解析式，再代入求函数值作答 . 【详解】 因 是函数 的反函数，则 ， ， 所以 的值为 0. 故选： A 6 ． A 【解析】 根据任意角三角函数的概念可得出 ，然后利用诱导公式求解 . 【详解】 因为角 以 为始边，且终边与单位圆交于点 ， 所以 ，则 . 故选： A. 【点睛】 当 以 为始边，已知角 终边上一点的坐标为 时，则 ， . 7 ． A 【解析】 【分析】 求解出 成立的充要条件，再与 分析比对即可得解 . 【详解】 ， ， 则 或 ， 由 得 ， 由 得 ， 显然 ， ， 所以 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件 . 故选： A 【点睛】 结论点睛：充分不必要条件的判断： p 是 q 的充分不必要条件，则 p 对应集合是 q 对应集合的真子集 . 8 ． D 【解析】 【分析】 根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数 的等式，进而可求得实数 的值 . 【详解】 由题意可得 ，再将 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 ， 又因为 ，所以， ，整理可得 ， 因为 且 ，解得 . 故选： D. 9 ． B 【解析】 【详解】 由条件知道： 均是函数的对称中心，故这两个值应该是原式子分母的根，故得到 ，由图像知道周期是 ，故 ，故 ，再根据三角函数的对称中心得到 ，故 如果 ，根据 ，得到 故答案为 B ． 点睛：根据函数的图像求解析式，一般要考虑的是图像中的特殊点，代入原式子；再就是一些常见的规律，分