一轮大题专练
18
—解三角形（面积问题
1
）
1
．在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，
，且
．
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）若
，求
面积的最大值．
解：（Ⅰ）由正弦定理得
，又
，
，又
，
，
，
故在
中，
；
（Ⅱ）由余弦定理得：
，
，
，
面积
．
故
面积的最大值为
．
2
．在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，
，
．
（
1
）求角
的大小；
（
2
）若
，求
面积的最大值．
解：（
1
）由正弦定理得
，
由于
，
，
所以
，
即
，
则
，又
，所以
．
（
2
）由余弦定理，得
（当且仅当
时，取“
”
，
从而
，
所以
的面积取得最大值
．
3
．如图所示，在梯形
中，
，
，点
是
上的一点，
，
．
（
1
）求
的大小；
（
2
）若
的面积
为
，求
．
解：（
1
）
，
，
所以
，即
；
（
2
）设
，则
，
，
因为
，
所以
，
，
的面积
，
所以
，即
，
所以
，此时
，
，
中，由余弦定理得
，
．
故
．
4
．已知平面四边形
内接于圆
，
，
．
（
1
）若
，求
所对的圆弧
的长；
（
2
）求四边形
面积的最大值．
解：（
1
）连接
，
，
，
为等边三角形，
，
平面四边形
内接于圆
，
（四点共圆），
，
由余弦定理可得，
．
，
，
设
的外接圆半径为
，
，
，
，
为等边三角形，
圆弧
所对于应的角
，
．
（
2
）在
中，
，
，
，
，
，
，当且仅当
时等式成立，
四边形
面积
，
四边形
面积
．
5
．在
中，
，
，
分别是角
，
，
的对应边，已知
．
（
1
）求
；
（
2
）若
，
，求
的面积．
解：（
1
）
，
由正弦定理可得：
，
又
，
，
，
，
又
，
，
．
，
．
（
2
）
，即
，
，可得
，
，
，
又
，
在
中，由正弦定理可知：
，
，（其中
为
外接圆半径），
．
6
．（
1
）如图，在直径为
的轮子上有一长为
的弦，
是弦的中点，轮子以
4
弧度
秒的速度旋转，求点
经过
所转过的弧长．
（
2
）在
中，已知
，
且最长边为
1
，求
的面积．
解：（
1
）因为
是弦的中点，所以
，因为
，
，所以
，
因为轮子以
4
弧度
秒的速度旋转，选择
，所以所转过的弧长
；
（
2
）因为
，
，所以
，
所以
，
所以
为最大角，所以
，
由
，
可得
，
，
由正弦定理可得
，所以
，
，
所以
的面积
．
7
．如图，半圆
的直径为
，
为直径延长线上的
点，
，
为半圆上任意一点，以
为一边作等边三角形
．设
．
（
1
）当
时，求四边形
的周长；
（
2
）点
在什么位置时，四边形
的面积最大？最大值为多少？
解：（
1
）在
中，由余弦定理得
，
即
，
于是四边形
的周长为
；
（
2
）在
中，由余弦定理得
，
所以
，
，
于是四边形
的面积为
，
当
，即
时，四边形
的面积取得最大值
．
8
．已知
中，
．
（Ⅰ）求
的大小；
（Ⅱ）已知
，
，若
、
是边
上的点，使
，求当
面积的最小时，
的大小．
解：（Ⅰ）
，
，
，
，得
，
又
，
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，又
，
为直角三角形，且
，
，
，设
，
，
，
则
，在
中，由
，
得
，
由
，
，得
，
在
中，由
，得
，
由
．
，
，
，
，可得当
，即
时，
取得最小值，
故当
面积的最小时，
．
解答题专练18—解三角形（面积问题1）-高考数学一轮复习
