山东省济宁市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（全解析版）

山东省济宁市 2023-2024 学年上学期期中考试 高二 数学试题 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的 . 1. 直线 的倾斜角为（） A. B. C. D. 2. 已知 ，若 三向量共面，则实数 等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知命题 p ：方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则使命题 成立的充分不必要条件是（） A. B. C. D. 4. 过圆 内一点 作直线交圆 O 于 A ， B 两点，过 A ， B 分别作圆的切线交于点 P ，则点 P 的坐标满足方程（） A. B. C. D. 5. 万众瞩目 北京冬奥会于 2022 年 2 月 4 日正式开幕，是继 2008 年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）再次承办奥运会开幕式．在手工课上，王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为 40cm ，短轴长为 20cm ，小椭圆的短轴长为 10cm ，则小椭圆的长轴长为（） cm A. 30 B. 20 C. 10 D. 6. 如图，在空间四边形 中， ， ， ，且 ， ，则 等于（） A. B. C. D. 7. 吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样 “ 戒烟口香糖 ” ，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则 “ 口香糖吃完时还剩 2 支香烟 ” 的概率为（） A. B. C. D. 8. 如图，设 、 分别是椭圆的左、右焦点，点 是以 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长 与椭圆交于点 ，若 ，则椭圆的离心率为（） A. B. C. D. 二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 . ） 9. 抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数 . 用 表示红色骰子的点数， 用 表示绿色骰子的点数，用 表示一次试验的结果 . 定义事件：事件 为 “ 为奇数 ” ，事件 为 “ 为奇数 ” ，事件 为 “ 为奇数 ” ，则下列结论正确的是（） A. 与 互斥 B. 与 对立 C . D. A 与 相互独立 10. 下列说法正确的是（） A. 已知直线 过点 ，且在 轴上截距相等，则直线 的方程为 . B. 直线 的倾斜角为 . C. ， “ 直线 与 垂直 ” 是 “ ” 必要不充分条件 . D. 若直线 沿 轴向左平移 3 个单位长度，再沿 轴向上平移 2 个单位长度后，回到原来的位置，则该直线 的斜率为 . 11. 正方体 的棱长为 a ，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 12. 已知过点 直线与椭圆 交于 、 两点，则弦长 可能是（） A. 1 B. C. D. 3 第 II 卷（非选择题） 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 已知 ，那么 与 夹角的余弦值为 ________ ． 14. 与圆 相交所得的弦长为 2 ，且在 轴上截距为 的直线方程是 __________ 15. 一个数字不重复的三位数的百位、十位、个位上的数字依次记为 ， ， ，当且仅当 ， ， 中有两个不同数字的和等于剩下的一个数字时，称这个三位数为 “ 有缘数 ” （如 213 ， 341 等）．现从 1 ， 2 ， 3 ， 4 这四个数字中任取三个数组成一个数字不重复的三位数，则这个三位数为 “ 有缘数 ” 的概率是 ______ ． 16. 已知椭圆 C ： 的左、右焦点分别为 ， M 为椭圆 C 上任意一点， N 为圆 E ： 上任意一点，则 的最小值为 ___________ ． 四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分，其中第 17 题 10 分，其它每题 12 分，解答应写出文字说明 ､ 证明过程或演算步骤 . ） 17. 袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为 ．现在甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 球，甲先取，乙后取，然后甲再取 … 取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的． （ 1 ）求袋中原有白球的个数； （ 2 ）求取球两次终止的概率 ； （ 3 ）求甲取到白球的概率． 18. 如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， ， ，平面 平面 ， ， ， ， ， ， . （ 1 ）若 平面 ，求 的值； （ 2 ）若 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值 . 19. 已知椭圆 的两个焦点分别为 ，且椭圆 过点 . （ 1 ）求椭圆 的标准方程； （ 2 ）过点 作直线 交椭圆于 两点， 是弦 的中点，求直线 的方程及弦 的长度 . 20. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆心在 y 轴上的圆 C 经过两点 和 ，直线 的方程为 . （ 1 ）求圆 C 的方程； （ 2 ）过点 作圆 C 切线，求切线方程； （ 3 ）当 时， Q 为直线 上的点，若圆 C 上存在唯一的点 P 满足 ，求点 Q 的坐标 . 21. 如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， 为底面圆 的内接正三角形，且边长为 ，点 在母线 上，且 ， ． （ 1 ）求证： 平面 ； （ 2 ）求证：平面 平面 ； （ 3 ）若点 为线段 上的动点．当直