四川省宜宾市叙州区第一中学校2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题 (原卷全解析版）

叙州区一中 2023 年秋期高二开学考试 数学试题 本试卷共 4 页， 22 小题，满分 150 分 . 考试用时 120 分钟 . 第 I 卷 选择题（ 60 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 某校高一、高二、高三年级分别有学生 1100 名、 1000 名、 900 名，为了了解学生的视力情况，现用分层抽样的方法从中随机抽取容量为 60 的样本，则应从高二年级抽取的学生人数为（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 2. 设 ， 是两个不同的平面， a ， b 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） ① 若 ， ，则 或 ② 若 ， ，则 ③ 若 ， ，则 ④ 若 ， ， ， ，则 A ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 3. 在 中， ，则 （ ） A. 或 B. C. 或 D. 4 设 ，则 等于（ ） A. - 2 B. 2 C. - 4 D. 4 5. 将函数 的图象沿轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的一个可能取值为（ ） A. B. C. D. 6. 长方体相交于一个顶点的三条棱长的比是 ，体对角线长为 ，则这个长方体的表面积为（ ） A. 12 B. 22 C. 32 D. 44 7. 已知 ， 在 方向上的投影为 ，则 的值为（ ） A. B. C. 2 D. -2 8. 在平行四边形 中， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 . 9. 已知 为虚数单位，复数 ，则下列命题为真命题的是（ ） A. 的共轭复数为 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应 点在第四象限 10. 为推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，增强健康管理意识，某校根据性别比例采用分层抽样方法随机抽取了 120 名男生和 80 名女生，调查并分别绘制出男、女生每天在校平均体育活动时间的频率分布直方图（如图所示），则（ ） A. B. 该校男生每天在校平均体育活动时间中位数的估计值为 75 C. 估计该校至少有一半学生每天在校平均体育活动时间超过一小时 D. 估计该校每天在校平均体育活动时间不低于 80 分钟的学生中男、女生人数比例为 11. 在锐角三角形 ABC 中， A ， B ， C 为三个内角， a ， b ， c 分别为 A ， B ， C 所对的三边，则下列结论成立的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 B 的取值范围是 C. D. 12. 已知直三棱柱 中， AB BC ， ， D 是 AC 的中点， O 为 的中点 . 点 P 是 上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 点 P 在 上运动，直线 与 AB 所成的最大角为 45° B. 当点 P 运动到 中点时，直线 与平面 所成的角的正弦值为 C. 无论点 P 在 上怎么运动 , 都有 D. 当点 P 运动到 中点时，才有 与 相交于一点，记为 Q ，且 第 II 卷 非选择题 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 在某次数学测验中， 5 位学生的成绩分别为： 70 ， 85 ， t ， 82 ， 75 ，若他们的平均成绩为 81 ，则他们成绩的 分位数为 ________ ． 14. 已知 sinα ＋ 2cosα ＝ 0 ，则 2sinαcosα － cos 2 α 的值是 ______________ . 15. 下图为一个母线长为 2 ，底面半径为 的圆锥，一只蚂蚁从 点出发，沿着表面爬行一周，又回到了 点，则蚂蚁爬行的最短距离为 _________ . （填数字） 16. 在 中，给出如下命题 : ① 是 所在平面内一定点，且满足 ，则 是 的垂心； ② 是 所在平面内一定点，动点 满足 ， ，则动点 一定过 的重心； ③ 是 内一定点，且 ，则 ； ④ 若 且 ，则 为等边三角形， 其中正确的命题为 _____ （将所有正确命题的序号都填上） 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知向量 ， ， 是同一平面内 三个向量，其中 ． （ 1 ） 若 ，且 ∥ ，求向量 的坐标； （ 2 ） 若 ，且 在 上的投影向量为 ，求 与 的夹角． 18. 某学校为了了解高二年级学生数学运算能力，对高二年级的 200 名学生进行了一次测试 . 已知参加此次测试的学生的分数 全部介于 45 分到 95 分之间，该校将所有分数分成 5 组： ， ， ， ， ， ， ，整理得到如下频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表） . （ 1 ） 求 的值，并估计此次校内测试分数的平均值 ； （ 2 ） 试估计这 200 名学生的分数 的方差 ，并判断此次得分为 52 分和 94 分的两名同学的成绩是否进入到了 范围内？（参考公式： ，其中 为各组频数；参考数据： 19. 已知函数 的部分图象，如图所示 . （ 1 ） 求函数 的解析式； （ 2 ） 将函数 图象向右平移 个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象，当 时，求函数 的值域 . 20. 已知 的内角 A 、 B ， C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，且 ． （ Ⅰ ）求角 A 的值． （ Ⅱ ）若 的面积为 ，且 ，求 a 的值． 21. 如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， ， ， ． （ 1