2023-2024学年辽宁省实验中学高二上学期10月月考试题数学试题（全解析版）

2023-2024 学年辽宁省实验中学高二上学期 10 月月考试题 数 学 学校： ___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ 一、选择题 1 ．如图所示 , 在 中 , , 则 ( ) A. B. C. D. 2 ．已知四边形 ABCD 是平行四边形， ，若 ，则 ( ) A. B. C. D. 3 ．如图 , 中 , , , D 为 BC 中点 , E 为 AD 中点 , 用 和 表示为 , 则 ( ) A.3 B. C. D. 4 ． O 是平面上一定点， A ， B ， C 是平面上不共线的三点，动点 P 满足 ，则动点 P 的轨迹一定通过 的 ( ) A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 5 ．已知 ， ， a ， b 的夹角为 . 如图，若 ， ，且 D 为 BC 的中点，则 的长度为 ( ) A. B. C.7 D.8 6 ．八卦是中国文化的基本哲学概念 , 图 1 是八卦模型图 , 其平面图形为图 2 中的正八边形 ABCDEFGH , 其中 , 给出下列结论： ① 与 的夹角为 ; ② ; ③ ; ④ 向量 在向量 上的投影向量为 （其中 是与 同向的单位向量） . 其中正确结论的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7 ．已知点 O 是平面内任意一点，则 “ 存在 ，使得 ” 是 “ A ， B ， C 三点共线 ” 的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 8 ．若向量 , 满足 , 则向量 , 一定满足的关系为 ( ) A. B. 存在实数 , 使得 C. 存在实数 m , n , 使得 D. 二、多项选择题 9 ． 是边长为 2 的等边三角形， D 为 的中点 . 下列正确的是 ( ) A. B. C. D. 10 ．已知 O 为 的外心 , 且 . 若向量 在向量 上的投影向量为 , 则 的值可能为 ( ) A. B. C. D. 三、填空题 11 ．已知边长为 1 的菱形 ABCD 中 , 角 , , 则 ________. 12 ．设平面上有四个互异的点 A ， B ， C ， D . 若 ，则 的形状一定是 _ _________. 13 ．已知向量 , 满足 , , , 则 _________. 四、解答题 14 ．如图 , 在平行四边形 ABCD 中 , 点 E 是 AB 的中点 , F , G 是 AD , BC 的三等分点 . , 设 , . （ 1 ）用 , 表示 , ; （ 2 ）如果 , 用向量的方法证明 : . 15 ．已知 ， 是夹角为 的单位向量， ， . （ 1 ）若 与 垂直，求实数 的值； （ 2 ）若 （ x ， 且 ），求 的最小值 . 参考答案 1 ．答案： A 解析：根据向量的线性运算法则 , 可得： . 故选： A. 2 ．答案： A 解析：因为 ，则 ，所以 ， ， ，故 . 故选 A. 3 ．答案： D 解析：因为 D 为 BC 中点 , E 为 AD 中点 , 所以 , 所以 , 则 . 故选 :D 4 ．答案： B 解析：由已知得 ， 是 方向上的单位向量，记为 ， 是 方向上的单位向量，记为 ，设 ，根据平行四边形法则可知四边形 AEQF 是菱形，点 P 在 的平分线上，故点 P 的轨迹过 的内心，故选 B . 5 ．答案： A 解析：由题得 ， . 故选 A. 6 ．答案： B 解析：对于 ① , 因为八边形 ABCDEFGH 为正八边形 , 所以 , 所以 与 的夹角为 , ① 错误 ; 对于 ② , , 显然不成立 , ② 错误 ; 对于 ③ , , 所以 , , 所以 , ③ 正确 ; 对于 ④ , , 向量 在向量 上的投影向量为 , ④ 正确 , 故选： B. 7 ．答案： C 解析：充分性：由 得 ， 故 ，则 ，故 A ， B ， C 三点共线，所以充分性成立， 必要性：若 A ， B ， C 三点共线，由共线向量定理可知 ， 从而 ，所以 ， 所以 ，所以必要性成立 . 综上所述： ” 是 “ A ， B ， C 三点共线 ” 的充要条件 . 故选： C. 8 ．答案： C 解析： , 两边同平方得 , , 对 A, 时 , 为任一向量 , 故 A 错误 , 对 B, 若 , 时 , 此时不存在实数 , 使得 , 故 B 错误 , 对于 C, 因为 , 当 与 至少一个为零向量时 , 此时 一定存在实数 m , n , 使得 , 具体分析如下： 当 , 时 , 此时 m 为任意实数 , , 当 , 时 , 此时 n 为任意实数 , , 当 , 时 , m , n 为任意实数 , 当 , 时 , 因为 , 则有 , 根据 , 则 , 此时 , 共线 , 且同向 , 则存在实数 使得 （ ） , 令 , 其中 m , n 同号 , 即 , 即 , 则存在实数 m , n , 使得 , 故 C 正确 , 对于 D, 当 , 时 , , 故 D 错误 , 故选： C. 9 ．答案： AC 解析：对于 A ： ， A 正确； 对于 B ： ， B 错误； 对于 C ：由平行四边形法则可知 ，所以 ， C 正确； 对于 D ： ， D 错误， 故选： AC. 10 ．答案： BCD 解析：因为 , 所以 , 即 , 又因为 为 的外心 , 则 , 所以 , , , 则 , 即 , 且 O 为斜边 BC 的中点 , 过 A 作 BC 的垂线 AQ , 垂足为 Q . 因为 在 上的投影向量为 , 所以 在 上的投影向量为 . 当 时 , 点 Q 与点 O 重合 , 则 , , ; 当 时 , 如图 1, ; 当 时 , 如图 2, . 所以 , 因为 , 所以当 时 , 取得最小值 , 且最小值为 . 当 时 , , 当 时 , . 故 的取值范围是 . 故选 :BCD 11 ．答案： 解析：由边长为 1 的菱形 ABCD 中 , 角 , , 可得 , , , 则 , 故答案为 : . 12 ．答案： 等腰三角形 解析： ， ， 是等腰三角形 . 13 ．答案： 解析：由 可得 , , 即 , 解得： , 所以 . 故答案为： . 14 ．答案： （ 1 ）见解析 （ 2 ）见解析 解析 : （ 1 ）由题意 , , ; （ 2 ）由（ 1 ）得 , 所以 . 15 ．答案： （ 1 ） （ 2 ） 解析：（ 1 ）因为