解三角形—正弦定理、余弦定理（高考真题汇编） 2022--2023年2年全国高考数学试题（原卷全解析版）

解三角形—正弦定理、余弦定理（高考真题汇编） 2022-2023 年 2 年全国高考数学试题全解析版 一．选择题（共 2 小题） 1 ．（ 2023• 北京）在 △ ABC 中，（ a + c ）（ sin A ﹣ sin C ）＝ b （ sin A ﹣ sin B ），则 ∠ C ＝（　　） A ． B ． C ． D ． 2 ．（ 2023• 乙卷）在 △ ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，若 a cos B ﹣ b cos A ＝ c ，且 C ＝ ，则 ∠ B ＝（　　） A ． B ． C ． D ． 二．填空题（共 6 小题） 3 ．（ 2023• 华侨、港澳、台）在 △ ABC 中， A ＝ 2 B ， a ＝ 6 ， b ＝ 4 ，则 cos B ＝ 　 　 ． 4 ．（ 2023• 上海）已知 △ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边 a ＝ 4 ， b ＝ 5 ， c ＝ 6 ，则 sin A ＝ 　 　 ． 5 ．（ 2022• 上海）已知在 △ ABC 中， ∠ A ＝ ， AB ＝ 2 ， AC ＝ 3 ，则 △ ABC 的外接圆半径为 　 　 ． 6 ．（ 2023• 甲卷）在 △ ABC 中， ∠ BAC ＝ 60° ， AB ＝ 2 ， BC ＝ ， D 为 BC 上一点， AD 为 ∠ BAC 的平分线，则 AD ＝ 　 　 ． 7 ．（ 2023• 上海）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为 4 米，坡面与水平面所成夹角为 θ ．行人每沿着斜坡向上走 1 m 消耗的体力为（ 1.025 ﹣ cos θ ），欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则 θ ＝ 　 　 ． 8 ．（ 2022• 甲卷）已知 △ ABC 中，点 D 在边 BC 上， ∠ ADB ＝ 120° ， AD ＝ 2 ， CD ＝ 2 BD ．当 取得最小值时， BD ＝ 　 　 ． 三．解答题（共 15 小题） 9 ．（ 2022• 华侨、港澳、台）记 △ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 sin A ＝ 3sin B ， C ＝ ， c ＝ ． （ 1 ）求 a ； （ 2 ）求 sin A ． 10 ．（ 2023• 乙卷）在 △ ABC 中，已知 ∠ BAC ＝ 120° ， AB ＝ 2 ， AC ＝ 1 ． （ 1 ）求 sin ∠ ABC ； （ 2 ）若 D 为 BC 上一点．且 ∠ BAD ＝ 90° ，求 △ ADC 的面积． 11 ．（ 2022• 浙江）在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ．已知 4 a ＝ c ， cos C ＝ ． （Ⅰ）求 sin A 的值； （Ⅱ）若 b ＝ 11 ，求 △ ABC 的面积． 12 ．（ 2022• 天津）在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ．已知 a ＝ ， b ＝ 2 c ， cos A ＝﹣ ． （ 1 ）求 c 的值； （ 2 ）求 sin B 的值； （ 3 ）求 sin （ 2 A ﹣ B ）的值． 13 ．（ 2023• 新高考Ⅰ）已知在 △ ABC 中， A + B ＝ 3 C ， 2sin （ A ﹣ C ）＝ sin B ． （ 1 ）求 sin A ； （ 2 ）设 AB ＝ 5 ，求 AB 边上的高． 14 ．（ 2022• 北京）在 △ ABC 中， sin2 C ＝ sin C ． （Ⅰ）求 ∠ C ； （Ⅱ）若 b ＝ 6 ，且 △ ABC 的面积为 6 ，求 △ ABC 的周长． 15 ．（ 2022• 乙卷）记 △ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 sin C sin （ A ﹣ B ）＝ sin B sin （ C ﹣ A ）． （ 1 ）若 A ＝ 2 B ，求 C ； （ 2 ）证明： 2 a 2 ＝ b 2 + c 2 ． 16 ．（ 2022• 乙卷）记 △ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 sin C sin （ A ﹣ B ）＝ sin B sin （ C ﹣ A ）． （ 1 ）证明： 2 a 2 ＝ b 2 + c 2 ； （ 2 ）若 a ＝ 5 ， cos A ＝ ，求 △ ABC 的周长． 17 ．（ 2023• 甲卷）记 △ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 ＝ 2 ． （ 1 ）求 bc ； （ 2 ）若 ﹣ ＝ 1 ，求 △ ABC 面积． 18 ．（ 2023• 天津）在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ．已知 a ＝ ， b ＝ 2 ， ∠ A ＝ 120° ． （Ⅰ）求 sin B 的值； （Ⅱ）求 c 的值； （Ⅲ）求 sin （ B ﹣ C ）的值． 19 ．（ 2023• 新高考Ⅱ）记 △ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 △ ABC 面积为 ， D 为 BC 的中点，且 AD ＝ 1 ． （ 1 ）若 ∠ ADC ＝ ，求 tan B ； （ 2 ）若 b 2 + c 2 ＝ 8 ，求 b ， c ． 20 ．（ 2023• 上海）在 △ ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对应的边分别为 a 、 b 、 c ，其中 b ＝ 2 ． （ 1 ）若 A + C ＝ 120° ， a ＝ 2 c ，求边长 c ； （ 2 ）若 A ﹣ C ＝ 15° ， a ＝ c sin A ，求 △ ABC 的面积． 21 ．（ 2022• 新高考Ⅰ）记 △ A BC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 ＝ ． （ 1 ）若 C ＝ ，求 B ； （ 2 ）求 的最小值． 22 ．（ 2022• 上海）如图，在同一平面上， AD ＝ BC ＝ 6 ， AB ＝ 20 ， O 为 AB 中点，曲线 CD 上任一点到 O 距离相等，角 ∠ DAB ＝ ∠ ABC ＝ 120° ， P ， Q 关于 OM 对称， MO ⊥ AB ； （ 1 ）若点 P 与点 C 重合，求 ∠ POB 的大小； （ 2 ） P 在何位置，求五边形 MQABP 面积 S 的最大值． 23 ．（ 2022• 新高考Ⅱ）记 △ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，分别以 a ， b ， c 为边长的三个正三角形的面积依次为 S 1 ， S 2 ， S 3 ．已知 S 1 ﹣ S 2 + S 3 ＝ ， sin B