天津市耀华中学2024届高三上学期暑期学情反馈数学试题(原卷全解析版）

天津市耀华中学 2024 届高三年级暑期学情反馈 数学学科试卷 本试卷分第 Ⅰ 卷（选择题）和第 Ⅱ 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟 . 祝同学们考试顺利！ 第 Ⅰ 卷（选择题 共 45 分） 一、选择题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 45 分 . 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题卡上 . 1. 设全集 ，集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 设 ，则 “ ” 是 “ ” 的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数 在 的图像大致为（ ） A. B. C. D. 4. 某部门随机调查了 90 名工作人员，为了了解他们的休闲方式是读书还是健身与性别是否有关，得到的数据如列联表所示 . 若认为性别与休闲方式有关，则此时犯错误的概率不超过（ ） 性别 休闲方式 合计 读书 健身 女生 25 （ ） 20 （ ） 45 男生 15 （ ） 30 （ ） 45 合计 40 50 90 附： ， ， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10 828 A. 0.01 B. 0.05 C. 95% D. 99.5% 5. 已知 ，则 （ ） A. 25 B. 5 C. D. 6. 已知 ， ， ， 则 a ， b ， c 大小关系为 A. B. C. D. 7. 甲罐中有 5 个红球， 2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球， 3 个白球和 3 个黑球 . 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 、 和 表示从甲罐中取出红球、白球和黑球，再从乙罐中随机取出一球，以 表示从乙罐中取出的球是红球，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数 的定义域为 R ， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ．若 ，则 （ ） A. B. C. D. 9. 已知函数 图象上存在关于 y 轴对称的两点，则正数 a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第 Ⅱ 卷（非选择题 共 105 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共计 30 分 . 不需写出解答过程，请把答案填在答案纸上的指定位置 . 10. 已知 （ 为虚数单位），则 ________ . 11. 的展开式中常数项为 ______ ． 12. 将字母 、 、 、 、 、 排成一排，其中 必须在 的左边，则不同的安排方法有 ________ . （用数字作答） 13. 现有 7 张卡片，分别写上数字 1 ， 2 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ．从这 7 张卡片中随机抽取 3 张，记所抽取卡片上数字的最小值 为 ，则 __________ ， _________ ． 14. 已知 ，则 的最小值是 _______ ． 15. 设函数 存在最小值，则 的取值范围是 ________ . 三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答案纸上 . 16. 在锐角 中，角 A ， B ， C 所对 边分别为 a ， b ， c . 已知 . （ 1 ） 求角 B 大小； （ 2 ） 设 ， ，求 和 值 . 17. 如图， P ， O 分别是正四棱柱 上、下底面的中心， E 是 AB 的中点， ， ． （ 1 ） 求证： 平面 PBC ； （ 2 ） 求直线 PA 与平面 PBC 所成角的正弦值； （ 3 ） 求平面 POC 与平面 PBC 夹角的余弦值． 18. 已知椭圆 C ： 1 （ a ＞ b ＞ 0 ）的左、右焦点分别为 F 1 、 F 2 ，点 P （﹣ 1 ， ）在椭圆 C 上，且 | PF 2 | ． （ 1 ）求椭圆 C 的方程； （ 2 ）过点 F 2 的直线 l 与椭圆 C 交于 A ， B 两点， M 为线段 AB 的中点，若椭圆 C 上存在点 N ，满足 3 （ O 为坐标原点），求直线 l 的方程． 19. 已知等比数列 的公比 ，若 ，且 ， ， 分别是等差数列 第 1 ， 3 ， 5 项 . （ 1 ） 求数列 和 的通项公式； （ 2 ） 记 ，求数列 的前 项和 ； （ 3 ） 记 ，求 的最大值和最小值 . 20. 已知函数 ． （ 1 ） 当 时，讨论 的单调性； （ 2 ） 当 时， ，求 a 的取值范围； （ 3 ） 设 ，证明： ． 天津市耀华中学 2024 届高三年级暑期学情反馈 数学学科试卷 本试卷分第 Ⅰ 卷（选择题）和第 Ⅱ 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟 . 祝同学们考试顺利！ 第 Ⅰ 卷（选择题 共 45 分） 一、选择题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 45 分 . 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题卡上 . 1. 设全集 ，集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】 求出集合 ，根据集合并集与补集运算求解 . 【详解】 方程 的两根分别为 ， 故 ， 所以 ， . 故选： D 2. 设 ，则“ ”是“ ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】 【分析】 分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定. 详解】 化简不等式，可知 推不出 ； 由 能推出 ， 故“ ”是“ ”的必要不充分条件， 故选B． 【点睛】 本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件． 3. 函数 在 的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 【分析】 根据函数的奇偶性以及特殊点的函数值确定正确答案 . 【