八个无敌模型——空间几何的外接球和内切球问题（讲义)高中数学解题题型与方法通用版

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球 类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式 ，即 ，求出 例 1 （ 1 ）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为 ，体积为 ，则这个球的表面积是（ C ） A ． B ． C ． D ． （ 2 ）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是 解：（ 1 ） ， ，， ，选 C ； （ 2 ） ， （ 3 ） 在正三棱锥 中， 分别是棱 的中点，且 , 若侧棱 , 则正三棱锥 外接球的表面积是 。 解：引理： 正三棱锥的对棱互垂直 。证明如下： 如图（ 3 ） -1 ，取 的中点 ，连接 ， 交于 ，连接 ，则 是底面正三角形 的中心， 平面 ， ， ， ， ， 平面 ， ，同理： ， ，即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图如图（ 3 ） -2 ， ， ， ， ， 平面 ， ， ， ， ， 平面 ， ， 故三棱锥 的三棱条侧棱两两互相垂直， ，即 ， 正三棱锥 外接球的表面积是 （ 4 ）在四面体 中， ， 则该四面体的外接球的表面积为（ D ） （ 5 ）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为 、 、 ，那么它的外接球的表面积是 （ 6 ） 已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为 的等腰直角三角形和边长为 的正方形，则该几何体外接球的体积为 解析：（ 4 ）在 中， ， ， 的外接球直径为 ， ， ，选 D （ 5 ）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为 （ ），则 ， ， ， ， ， ， ， （ 6 ） ， ， ， 类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 1 ．题设：如图 5 ， 平面 解题步骤： 第一步：将 画在小圆面上， 为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径 ，连接 ，则 必过球心 ； 第二步： 为 的外心，所以 平面 ，算出小圆 的半 径 （三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得 ）， ； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： ① ； ② 2 ．题设：如图 6 ， 7 ， 8 ， 的射影是 的外心 三棱锥 的三条侧棱相等 三棱锥 的底面 在圆锥的底上，顶点 点也是圆锥的顶点 解题步骤： 第一步：确定球心 的位置，取 的外心 ，则 三点共线； 第二步：先算出小圆 的半径 ，再算出棱锥的高 （也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理： ，解出 方法二：小圆直径参与构造大圆。 例 2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 ( )C A ． B ． C ． D ．以上都不对 解：选 C ， , , , , 类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直） 1 ．题设：如图 9-1 ，平面 平面 ，且 （即 为小圆的直径） 第一步：易知球心 必是 的外心，即 的外接圆是大圆，先求出小圆的直径 ； 第二步：在 中，可根据正弦定理 ，求出 2 ．如图 9-2 ，平面 平面 ，且 （即 为小圆的直径） 3 ．如图 9-3 ，平面 平面 ，且 （即 为小圆的直径），且 的射影是 的外心 三棱锥 的三条侧棱相等 三棱 的底面 在圆锥的底上，顶点 点也是圆锥的顶点 解题步骤： 第一步：确定球心 的位置，取 的外心 ，则 三点共线； 第二步：先算出小圆 的半径 ，再算出棱锥的高 （也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理： ，解出 4 ．如图 9-3 ，平面 平面 ，且 （即 为小圆的直径），且 ，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： ① ； ② 例 3 （ 1 ）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 1 ，底面边长为 ，则该球的表面积为 。 （ 2 ）正四棱锥 的底面边长和各侧棱长都为 ，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 解：（ 1 ）由正弦定理或找球心都可得 ， ， （ 2 ）方法一：找球心的位置，易知 ， ， ，故球心在正方形的中心 处， ， 方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是 的外接圆，此处特殊， 的斜边是球半径， ， ， （ 3 ） 在三棱锥 中， , 侧棱 与底面 所成的角为 ，则该三棱锥外接球的体积为（ ） A ． 　 B. 　 C. 4 　 D. 解：选 D ，圆锥 在以 的圆上， （ 4 ） 已知三棱锥 的所有顶点都在球 的求面上 , 是边长为 的正三角形 , 为球 的直径 , 且 ，则此棱锥的体积为（　　） A A ． B ． C ． D ． 解： ， ， 类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 题设：如图 10-1 ，图 10-2 ，图 10-3, 直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 第一步：确定球心 的位置， 是 的外心，则 平面 ； 第二步：算出小圆 的半径 ， （ 也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理： ，解出 例 4 （ 1 ）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为 ，则这个球的体积为 解：设正六边形边长为 ，正六棱柱的高为 ，底