浙江省宁波市宁波九校2023-2024学年高三上学期1月期末数学试题（全解析版）

浙江省 宁波市 2023-2024 学年第一学期期末九校联考 高三数学试题 注意事项： 1. 答卷前，务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 . 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号 . 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 . 3. 请保持答题卡的整洁 . 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 . 第 Ⅰ 卷 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 . ） 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数 ，则 的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 与双曲线 有共同的渐近线，且经过点 的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若数列 为等比数列，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 5. 体育课上，罗老师让 8 名身高各不相同的同学排队，要求排成前后两排，每排 4 人，且每排同学从左到右身高依次递增，则不同排法的种数为（ ） A 60 B. 70 C. 80 D. 90 6. 若向量 满足 ，且 ，则 在 上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 8. 在四面体 中， ， ，且 ，则该四面体的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 . ） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据 6 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 7 ， 8 ， 9 ， 1 ， 10 的第 70 百分位数是 8.5 B. 若随机变量 ，则 C. 设 为两个随机事件， ，若 ，则事件 A 与事件 相互独立 D. 根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到 ，依据 的卡方独立性检验 ，可判断 与 有关且该判断犯错误的概率不超过 0.05 10. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 11. 抛物线 ： 的焦点为 ，过 作倾斜角为 的动直线 交抛物线于 两点（ 在第一象限），且 ，设 关于 轴的对称点为 ，则下列说法一定正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知 ， ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 第 Ⅱ 卷 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . ） 13. 小周和小王进行一对一篮球比赛，该比赛采取三局两胜制（有一方先胜两局即获胜，比赛结束） . 假设小周每一局获胜 概率为 ，小王每一局获胜的概率为 ，且每一局比赛相互独立，则小王在比赛中获胜的概率为 _________ . 14. 若点 直线 上的动点，过 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 的最大值为 _________ . 15. 将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，且 在 上单调递增，则 的取值范围是 _________ . 16. 在棱长为 1 的正方体 中， 分别是棱 的中点， 分别是线段 上的动点，则 的最小值为 _________ . 四、解答题（本大题共 6 小题，第 17 题 10 分，第 18-22 每小题 12 分，共 70 分 . 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 . ） 17. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 . （ 1 ）求数列 的通项公式； （ 2 ）若 ，令 ，求数列 的前 项和 . 18. 如图，在三棱锥 中， ， ， 平面 ，平面 平面 ， 是 的中点 . （ 1 ）求证： ; （ 2 ）求平面 与平面 的夹角 . 19. 某企业对 2023 年上半年的月利润情况进行调查统计，得到数据如下： 月份 1 2 3 4 5 6 净利润 （万元） 5 10 26 50 96 195 根据以上数据，绘制了散点图 . （ 1 ）根据散点图判断， 与 （ 均为大于零的常数）哪一个更适宜作为描述 与 关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （ 2 ）根据（ 1 ）的判断结果求出 关于 的回归方程； （ 3 ）已知该企业的产品合格率为 ，现随机抽取 9 件产品进行检测，则这 9 件产品中合格的件数最有可能是多少？ 参考数据： 3.50 63.67 3.49 17 50 9.49 12.95 519.01 其中 . 参考公式：用最小二乘法求经验回归直线方程 的系数公式为， ， 20. 在 中，已知 . （ 1 ）求 的长； （ 2 ）若 的平分线 交 点 ，求 的最大值 . 21. 已知点 和直线 : ，动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离的比是常数 . （ 1 ）求动点 的轨迹 的方程； （ 2 ）已知 ，过点 作直线 交 于 ， 两点，若 ，求 斜率 的值 . 22. 我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为 ，幂指函数在求导时可以将函数 “ 指数化 " 再求导 . 例如，对于幂指函数 ， . （ 1 ）已知 ，求曲线 在 处的切线方程； （ 2 ）若 且 ， . 研究 的单调性； （ 3 ）已知 均大于 0 ，且 ，讨论 和 大小关系 . 宁波市 2023 学年第一学期期末九校联考 高三数学试题 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 . ） 1. 已知集合