湖北省高中名校联盟2024届高三第三次联考综合测评数学试卷（全解析版）

湖北省高中名校联盟 2024 届高三第三次联合测评 数学试卷 本试卷共 4 页， 22 题 . 满分 150 分 . 考试用时 120 分钟 . 考试时间： 2024 年 2 月 1 日下午 15 ： 00—17 ： 00 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置 . 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 . 3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内 . 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 . 4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交 . 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数 ， z 的共轭复数为 ，则 = （ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 没有公共点的两条直线是异面直线 B. 若两条直线 a ， b 与平面 α 所成的角相等，则 C. 若平面 α ， β ， γ 满足 ， ，则 D. 已知 a ， b 是不同的直线， α ， β 是不同的平面 . 若 ， ， ，则 4. 已知点 为直线 上的一点，过点 作圆 的切线 ，切点为 ，则切线长 的最小值为（ ） A B. C. D. 5. 在 中，已知 ，则 （ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 6. 已知函数 ，若 ，则实数 a 的取值范围是（ ） A B. C. D. 7. 已知函数 ，若 有且仅有三个零点，则下列说法中不正确的是（ ） A 有且仅有两个零点 B. 有一个或两个零点 C. ω 的取值范围是 D. 在区间 上单调递减 8. 已知四棱锥 的底面为矩形， ， ，侧面 为正三角形且垂直于底面 ， M 为四棱锥 内切球表面上一点，则点 M 到直线 距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 . 9. 某大学生做社会实践调查，随机抽取 名市民对生活满意度进行评分，得到一组样本数据如下： 、 、 、 、 、 ，则下列关于该样本数据的说法中正确的是（ ） A. 均值为 B. 中位数为 C. 方差为 D. 第 百分位数为 10. 已知 ， ，且 ，则（ ） A. ， B. C. 的最小值为 ，最大值为 4 D. 的最小值为 12 11. 已知椭圆 的离心率为 ，左，右焦点分别为 ， ，过 且倾斜角为 的直线与椭圆 C 交于 A ， B 两点（点 A 在第一象限）， P 是椭圆 C 上任意一点，则（ ） A. a ， b 满足 B. 的最大值为 C. 存在点 P ，使得 D. 12. 已知数列 的前 n 项和为 ，且 ， ，则（ ） A. 当 时， B. C. 数列 单调递增， 单调递减 D. 当 时，恒有 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 的展开式中的常数项为 ___________ （用数字填写答案） . 14. 已知向量 ， 满足 ， ，且 ， 的夹角为 ，则 的最小值是 ______ . 15. 已知抛物线 ，直线 l 过 C 的焦点 F 且与 C 交于 A ， B 两点，以线段 为直径的圆与 y 轴交于 M ， N 两点，则 的最小值是 ____________ . 16. 若函数 在不同两点 ， 处的切线互相平行，则这两条平行线间距离的最大值为 ___________ . 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或清算步骤 . 17 已知数列 满足： ， . （ 1 ）求证：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式； （ 2 ）设 ，求数列 的前 20 项和 . 18. 在 中，已知 ， D 为 的中点 . （ 1 ）求 A ； （ 2 ）当 时，求 的最大值 . 19. 如图，在梯形 中， ， ， . 将 沿对角线 折到 的位置，点 P 在平面 内的射影 H 恰好落在直线 上 . （ 1 ）求二面角 的正切值； （ 2 ）点 F 为棱 上一点，满足 ，在棱 上是否存在一点 Q ，使得直线 与平面 所成的角为 ? 若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 . 20. “ 中式八球 ” 是受群众欢迎 台球运动项目之一 . 在一场 “ 中式八球 ” 邀请赛中，甲、乙、丙、丁 4 人角逐最后的冠军，本次邀请赛采取 “ 双败淘汰制 ”. 具体赛制如下： 首先， 4 人通过抽签两两对阵，胜者进入 “ 胜区 ” ，败者进入 “ 败区 ” ； 接下来， “ 胜区 ” 的 2 人对阵，胜者进入最后的决赛， “ 败区 ” 的 2 人对阵，败者直接淘汰出局，获得第四名； 紧接着， “ 败区 ” 的胜者和 “ 胜区 ” 的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的 2 人进行最后的冠亚军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名 . 现假定甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为 ，且不同对阵的结果相互独立 . （ 1 ）经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁 . 若 . （ I ）求甲连胜三场获得冠军的概率； （ Ⅱ ）求甲在 “ 双败淘汰制 ” 下获得冠军的概率； （ 2 ）除 “ 双败淘汰制 ” 外， “ 中式八球 ” 也经常采用传统的 “ 单败淘汰制 ” ；抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，