2023-2024学年河南省许昌高级中学许平汝名校高一下学期开学考试数学试题（全解析版）

河南省许昌市高级中学许平汝名校 2023—2024 学年高一下学期开学考试 数 学 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名 ､ 考生号 ､ 考场号 ､ 座位号填写在答题卡上 . 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 . 回答非选择题时，将答案写在答题卡上 . 写在本试卷上无效 . 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 . 4. 本试卷主要考试内容：人教 A 版必修第一册 . 一 ､ 选择题 ：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知函数 ，则 （ ） A.-1 B.0 C.1 D.2 3. 函数 是（ ） A. 最小正周期为 的奇函数 B. 最小正周期为 的偶函数 C. 最小正周期为 的奇函数 D. 最小正周期为 的偶函数 4. 设 ，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数 的图象大致为：（ ） A. B. C. D. 6. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 或 7.“ 双碳 ” 战略倡导绿色 ､ 环保 ､ 低碳的生活方式 . 加快降低碳排放的步伐，有利于引导绿色技术创新，提高产业和经济的竞争力 . 某企业准备在新能源产业上布局，计划第 1 年投入 万元，此后每年投入的资金比上一年增长 ，到第 年，投入的资金首次超过 万元，则 （ ）（参考数据： ） A.5 B.6 C.7 D.8 8. 已知函数 ，则 “ ” 是 “ 在 上恰好存在 3 个不同的 满足 ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二 ､ 多选题 ：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选 错的得 0 分 . 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 是幂函数 B. 是减函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 10. 已知函数 ，则（ ） A. 的最大值为 B. 的图象关于点 对称 C. 是偶函数 D. 不等式 的解集是 11. 已知定义在 上的函数 满足 ，且 在 上单调递增，下列结论正确的是（ ） A. 函数 的图象关于直线 对称 B. 函数 的图象关于直线 对称 C. 函数 的最小值为 D. 若方程 有两个解 ，则 三 ､ 填空题 ：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 . 12. 函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是 __________. 13. 如图 1 ，这是一副扇形装饰挂画，可将其视为如图 2 所示的扇形环面（由扇形 挖去扇形 后构成的）， 米 . 该扇形环面的周长为 4 米，则该扇形环面的面积是 __________ 平方米 . 14. 设正实数 满足 ，则 的最小值是 __________ ；当 取得最小值时， 的最小值为 __________. 四 ､ 解答题 ：本题共 5 小题，共 77 分 . 解答应写出文字说明 ､ 证明过程或演算步骤 . 15. （ 13 分） 已知集合 . （ 1 ）当 时，求 ； （ 2 ）若 ，求 的取值范围 . 16. （ 15. 分） 已知函数 . （ 1 ）化简 ； （ 2 ）若 ，求 的值 . 17. （ 15 分） 已知函数 ，其中 是自然对数的底数 . （ 1 ）判断 的奇偶性，并说明理由； （ 2 ）若关于 的方程 有解，求 的取值范围 . 18. （ 17 分） 已知函数 的部分图象如图所示 . （ 1 ）求 的解析式； （ 2 ）求 的单调递增区间； （ 3 ）若存在 ，使得 ，求 的取值范围 . 19. （ 17 分） 已知 是定义在 上的奇函数 . （ 1 ）求 的值域； （ 2 ）设函数 ，若对任意的 ，存在 ，使得 ，求 的取值范围 . 2023—2024 学年高一下学期开学考试数学 参考答案 1.D 由题意可得 ，则 . 2.A 令 ，得 ，则 . 3.C 因为 ，所以 是最小正周期为 的奇函数 . 4.B 因为 ，所以 ，则 ，则 错误 . 因为 ，所以 . 因为 0 ，所以 ，即 ，所以 ，即 ，则 B 正确 . 当 时， ，则 C 错误 . 因为 ，所以 ，则 D 错误 . 5.D 的定义域为 ，关于原点对称 . 因为 ，所以 为奇函数，排除选项 . 当 时， ，所以 ，所以排除选项 A ，故选 D. 6.A 由 ，得 ，因为 ，所以 ， . 7.D 令 ，解得 ，故 . 8.C 当 时， ，若 在 上恰好存在 3 个不同的 满足 ，则 ，解得 . 若 ，则 ，则方程 在 上的解集为 . 所以 “ ” 是 “ 在 上恰好存在 3 个不同的 满足 ” 的充要条件 . 9.ACD 是幂函数， 是增函数， 正确， 错误 . 是奇函数， 正确 . 因为 ，所以 是偶函数， 正确 . 10.ACD 由题意可得 . ，则 的 最大值为 ，故 A 正确 . 令 ，解得 ，则 的图象关于点 对称，故 B 错误 . 是偶函数，则 C 正确 . ，即 ，即 ，则 ，解得 ，即不等式 的解集是 ，故 D 正确 . 11.ABD 因为 ，所以函数 的图象关于直线 对称，函数 的图象关于直线 对称， 正确 . 令函数 ，则 ，即 ，所以函数 的图象关于直线 对称， B 正确 . 因为函数 的图象关于直线 对称， ，且 在 上单调递增，所以 ，当且仅当 时，等号成立； ，当且仅当 时，等号成立 . 因为取等条件不同，所以 取不到等号， C 错误 . 因