四川省宜宾市叙州区第二中学校2023-2024学年高二上学期开学数学试题 (原卷全解析版）

叙州区二中 2023 年秋期高二开学考试 数学试题 本试卷共 4 页， 22 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟． 第 I 卷 选择题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从某年级 500 名学生中抽取 60 名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正确的是（ ） A. 500 名学生是总体 B. 每个被抽取的学生是个体 C. 抽取的 60 名学生的体重是一个样本 D. 抽取的 60 名学生的体重是样本容量 2. 若 （ 是虚数单位）是纯虚数，则实数 a 的值是（ ） A B. 0 C. 1 D. 2 3. 已知向量 ， 满足 ， ，则 与 的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知 的内角 的对边分别为 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 5. 函数 的图像关于直线 对称，则 可以为（ ） A. B. C. D. 1 6. 在正三棱柱 中， ，点 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 若三角形三边长分别为 a ， b ， c ，则三角形 面积为 ，其中 ，这个公式被称为海伦 — 秦九韶公式 . 已知 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， ， a ＝ 6 ，则 面积的最大值为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 20 8. 在平面上有 及内一点 O 满足关系式： 即称为经典的 “ 奔驰定理 ” ，若 的三边为 a ， b ， c ，现有 则 O 为 的（ ） A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分． 9. 已知一组数据为 ， ， ， ， ， ，则该组数据的（ ） A. 众数 B. 平均数是 C. 第 百分位数是 D. 方差是 10. 设函数 ，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线 对称 C. 的一个零点为 D. 的最大值为 11. 如图，已知在正方体 中， 和 分别为 和 的中点，则（ ） A. 直线 与 为异面直线 B. 正方体 过点 ， 的截面为三角形 C. 直线 垂直平面 D. 平面 平行于平面 12. 已知定义在 上的函数 的图象是连续不断的，且满足以下条件： ① ； ② ，当 时，都有 ； ③ . 则下列结论中正确的是（ ） A. B. 若 ，则 C. ， ，使得 D. 若 ，则 第 II 卷 非选择题 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 已知 ， 与 的夹角为 ，则 ______ . 14. 化简： ______ ． 15. 已知函数 ，则满足 的实数 的取值范围是 ________. 16. 设 中角 所对的边分别为 ， ， ， 为 边上的中线；已知 且 ， ．则 ______ ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知向量 ， ， ，且 ， ． （ 1 ） 求向量 、 ； （ 2 ） 若 ， ，求向量 ， 的夹角的大小 . 18. 某大型企业为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐．为了解员工手机流量使用情况，通过抽样，得到 位员工每人手机月平均使用流量 （单位： ）的数据，其频率分布直方图如图． （ Ⅰ ）求 的值； （ Ⅱ ）从该企业的 位员工中随机抽取 人，求手机月平均使用流量不超过 的概率； （ III ）据了解，某网络运营商推出两款流量套餐，详情如下： 套餐名称 月套餐费（单位：元） 月套餐流量（单位： ） 流量套餐的规则是：每月 日收取套餐费．如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包（包含 的流量）需要 元，可以多次购买，如果当月流量有剩余，将会被清零．该企业准备订购其中一款流量套餐，每月为员工支付套餐费，以及购买流量叠加包所需月费用．若以平均费用为决策依据，该企业订购哪一款套餐更经济？ 19. 在 △ ABC 中，若角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， ，且 ． （ 1 ） 求 ∠ C 大小； （ 2 ） 若 △ ABC 的面积 ，求角 A 的最大值． 20. 如图，已知 平面 ， 平面 ， 是边长为 2 的正三角形， 是 的中点，且 （ 1 ）求证： 平面 ； （ 2 ）求直线 与平面 所成角的大小． 21. 设 ，将奇函数 图象向左平移 个单位，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图像． （ 1 ） 求 a 的值及函数 的解析式； （ 2 ） 设 ， ，求函数 值域． 22. 定义在 上的函数 ，如果满足：对任意 ，存在常数 ，都有 成立，则称 是 上的有界函数，其中 称为函数 的一个上界，已知函数 ， （ 1 ） 若函数 为奇函数，求实数 的值； （ 2 ） 在（ 1 ）的条件下，求函数 在区间 上的所有上界构成的集合； 叙州区二中 2023 年秋期高二开学考试 数学试题 本试卷共 4 页， 22 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟． 第 I 卷 选择题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 从某年级 500 名学生中抽取 60 名学生进行体重的统计分析，就这个问题来说，下列说法正