浙江省杭州地区（含周边）重点中学2021-2022学年高二上学期期中联考数学试题（全解析版）

浙江省 杭州地区（含周边）重点中学 2021 -2022 学年第一学期期中 高二年级数学学科试题 选择题部分 一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 . 1. 直线 倾斜角为 （ ） A. B. C. D. 2. 若复数 ( 为虚数单位 ) ，则 = （ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四面体 中， 是棱 上靠近 的三等分点， 分别是 的中点，设 ， ， ，用 ， ， 表示 ，则 （ ） A. B. C D. 4. 两条平行直线 和 间的距离为 ，则 ， 分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则能得出 的是（ ） A. ， ∥ ， B. ， ， ∥ C. ， ， ∥ D. ， ∥ ， 6. 如图，已知圆锥的底面半径为 2 ，母线长为 4 ， 为圆锥底面圆的直径， 是 的中点， 是母线 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C D. 7. 已知平面向量 ， ， ，满足 ， 与 的夹角为 ，且 ，则 的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 在矩形 中， ， 为 的中点，将 和 沿 翻折，使点 与点 重合于点 ，若 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求 . 全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 . 9. 已知直线 ，其中 ，下列说法正确的是（ ） A. 当 时，直线 与直线 垂直 B. 若直线 与直线 平行，则 C. 直线 的倾斜角一定大于 D. 当 时，直线 在两坐标轴上的截距相等 10 圆 和圆 相交于 两点 ， 则有（ ） A. 公共弦 所在直线方程为 B. 圆 到直线 距离等于 1 的点有 2 个 C. 公共弦 的长为 D. 为圆 上的一个动点，则 到直线 距离的最大值为 11. 有 5 个相同的球，分别标有数字 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球 . 甲表示事件 “ 第一次取出的球的数字是 1” ，乙表示事件 “ 第二次取出的球的数字是 2” ，丙表示事件 “ 两次取出的球的数字之和是 6” ，丁表示事件 “ 两次取出的球的数字之和是 7” ，则 （ ） A. 甲与丙相互独立 B. 甲与丁相互独立 C. 乙与丙相互独立 D. 乙与丁相互独立 12. 如图，若正方体的棱长为 1 ，点 是正方体 的侧面 上的一个动点 ( 含边界 ) ， 是棱 的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 沿正方体的表面从点 A 到点 的最短路程为 B. 若保持 ，则点 在侧面 内运动路径的长度为 C. 三棱锥 的体积最大值为 D. 若点 在 上运动，则 到直线 的距离的最小值为 非选择题部分 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 费马大定理又称为 “ 费马最后定理 ” ，由 17 世纪法国数学家皮埃尔 · 德 · 费马提出，他断言当 时，关于 ， ， 的方程 没有正整数解．他提出后，历经多人猜想辩证，最终在 1994 年被英国数学家安德鲁 · 怀尔斯彻底证明．某同学对这个问题很感兴趣，决定从 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 这 6 个自然数中随机选一个数字作为方程 中的指数 ，方程 存在正整数解的概率为 ______ ． 14. 若复数 （ i 是虚数单位）是关于 的方程 的一个根，则 = __________ . 15. 由 10 个实数组成的一组数据，方差为 ，将其中一个数 3 改为 1 ，另一个数 6 改为 8 ，其余的数不变，得到新的一组数，方差为 ，则 __________. 16. 如图，在四棱台 中， ， ，则 的最小值为 __________. 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. 在 中，已知角 所对应的边分别为 ，且 ， ， 是线段 上一点，且满足 . （ 1 ）求 的面积； （ 2 ）求 的长 . 18. 第 19 届亚运会将于 2022 年 9 月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障 . 某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作 . 现随机抽取了 100 名候选者的面试成绩，并分成五组：第 一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组 ，第五组 ，绘制成如图所示的频率分布直方图 . 已知第三、四、五组的频率之和为 0.7 ，第一组和第五组的频率相同 . （1） 求 的值； （2） 估计这 100 名候选者面试成绩的众数，平均数和第 分位数（分位数精确到 0.1 ) ； （3） 在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取 5 人，然后再从这 5 人中选出 2 人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率 . 19. 如图，平行六面体 中， ， ， ， （1） 求对角线 的长度； （2） 求二面角 的余弦值 . 20. 已知直线 的方程为： ，分别交 轴， 轴于 两点， （1） 求原点到直线 距离的最大值及此时直线 的方程； （2） 若 为常数，直线 与线段 有一个公共点，求 最小值 . 21. 如图，四棱锥 中， ，且 ， （1） 求证：平面 平面 ； （2） 若 是等边三角形，底面 是边长为 3 的正方形， 是 中点，求直线 与平面 所成角的正弦值