湖北省武汉市江汉区2023-2024学年高二上学期8月新起点摸底考试数学试题（原卷全解析版）

江汉区 2022 级高二新起点摸底考试 数学试卷 江汉区教研培训中心命制 2023.8.28 本试卷共 4 页， 22 题 . 全卷满分 150 分 . 考试用时 120 分钟 . ★ 祝考试顺利 ★ 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置 . 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 . 3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内 . 写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 . 4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交 . 一､选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡上 . ） 1. 已知集 ，合 ，则 （ ） A B. C. D. 2. 若复数 z 的虚部小于 0 ，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 某中学高三年级共有学生 人，为了解他们的视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 的样本，若样本中共有女生 人，则该校高三年级共有男生（ ）人 A. B. C. D. 4. 已知 ， ， 则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量 ， ，则向量 在向量 上 投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏．今天，我们可以用数学观点来对这句话重新诠释，我们可以把 “ 不见其增 ” 量化为每天的 “ 进步率 ” 都是 1% ，一年后是 ；而把 “ 不见其损 ” 量化为每天的 “ 落后率 ” 都是 1% ，一年后是 ．可以计算得到，一年后的 “ 进步 ” 是 “ 落后 ” 的 倍．那么，如果每天的 “ 进步率 ” 和 “ 落后率 ” 都是 20% ，要使 “ 进步 ” 是 “ 落后 ” 的 10000 倍，大约需要经过（ ， ）（ ） A. 17 天 B. 19 天 C. 21 天 D. 23 天 7. 若函数 在 有最小值无最大值，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥 中，底面 为等腰三角形， ，且 ，平面 平面 ， ，点 为三棱锥 外接球 上一动点，且点 到平面 的距离的最大值为 ，则球 的表面积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 . 9. 已知 ､ 是两条不同直线， ， 是两个不同平面，则下列命题错误的是（ ） A. 若 ， ， ，则 B. 若 ， ，则 C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则 10. 下列四个结论中正确的是（ ） A. 命题 “ ， ” 的否定是 “ ， ” B. 设 ， ，则 “ ” 的充分不必要条件是 “ ” C. 若 “ ， ” 为假命题，则 D. 若函数 在区间 上的最大值为 4 ，最小值为 3 ，则实数 的取值范围是 11. 在 中， ， ，则角 的可能取值为（ ） A. B. C. D. 12. 摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如武汉东湖的 “ 东湖之眼 ” 摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度 55 米，转盘直径为 50 米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针方向匀速旋转 分钟，当 时，游客随舱旋转至距离地面最远处 . 以下关于摩天轮的说法中，正确的为（ ） A. 摩天轮离地面最近的距离为 5 米 B. 若旋转 分钟后，游客距离地 面的高度为 米，则 C. 存在 ， ，使得游客在该时刻距离地面 高度均为 20 米 D. 若在 ， 时刻游客距离地面的高度相等，则 的最小值为 20 三､填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 有一组按从小到大顺序排列 数据： 3 ， 5 ， ， 8 ， 9 ， 10 ，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为 ___________ . 14. 若 ，则 ___________ . 15. 已知 ，则 的最小值为 ___________ . 16. 设函数 ，则使得 成立的 的取值范围是 ___________ . 四､解答题：本题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤 . 17. 已知向量 ， 满足 ， ， . （ 1 ） 求 ； （ 2 ） 若 ， ，求 . 18. 甲､乙､丙三人各自独立地破译某密码，已知甲､乙都译出密码的概率为 ，甲､丙都译出密码的概率为 ，乙､丙都译出密码的概率为 . （ 1 ） 分别求甲､乙､丙三人各自译出密码的概率； （ 2 ） 求密码被破译的概率 . 19. 已知函数 . （ 1 ） 求 最小正周期和对称中心； （ 2 ） 在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，求 的取值范围 . 20. 如图，在三棱柱 中， 平面 ， ， . （ 1 ） 求 与平面 所成的角； （ 2 ） 若 ，求四棱锥 的体积 . 21. 某学校为了了解老师对 “ 民法典 ” 知识的认知程度，针对不同年龄的老师举办了一次 “ 民法典 ” 知识竞答，满分 100 分（ 95 分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有 人，按年龄分成 5 组，其中第一组： ，第二组： ，第三组： ，第四组： ，第五组： ，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一