四川省泸县第四中学2022-2023学年高二下学期4月月考数学（文）试题（原卷全解析版）

泸县四中 2023 年春期高二第二学月考试 数学（文史类） 注意事项： 1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上 . 2 ．考试结束后，将本试卷自己保管，答题卡交回 .3. 考试时间： 120 分钟 第 I 卷 选择题（ 60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 电影《速度与激情》中超级跑车 “ 莱肯 ” ， 最高时速可达 396 千米 / 小时， 假设 “ 莱肯 ” 从静 止开始做匀加速直线运动， 路程 ( 单位 : 米 ) 与时间 ( 单位 : 秒 ) 的函数关系为 ， 则在 秒时刻的瞬时速度为（ ）米 / 秒 . A. 8 B. 40 C. 100 D. 110 2. 复数 虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 若直线 与直线 平行，则 的值是（ ） A. B. 1 C. 1 或 D. 4. 是空气 质量的一个重要指标，我国 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 日均值在 以下空气质量为一级，在 之间空气质量为二级，在 以上空气质量为超标 . 如图是某地 11 月 1 日到 10 日 日均值（单位： ）的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ） A. 这 天中有 天空气质量为一级 B. 这 天中 日均值最高的是 11 月 5 日 C. 从 日到 日 ， 日均值逐渐降低 D. 这 天的 日均值的中位数是 5. 已知 ， 都是实数，那么 “ ” 是 “ ” 的 A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是 A. B. C. D. 7. 借用 “ 以直代曲 ” 的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计算，例如：求 ，我们先求得 在 处的切线方程为 ，再把 代入切线方程，即得 ，类比上述方式，则 （ ）． A. 1.00025 B. 1.00005 C. 1.0025 D. 10005 8. 在长方体 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知 为偶函数，当 时， ，则曲线 在 处的切线经过点（ ） A. B. C. D. 10. 已知 x ， y 为实数，且满足 3 x 2 ＋ 2 y 2 ≤6 ，则 2 x ＋ y 的最大值为（ ） A. 6 B. C. 11 D. 11. 设 为椭圆 上一点，点 关于原点 对称点为 ， 为椭圆的右焦点，且 . 若 ，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） A B. C. D. 12. 已知函数 ，曲线 上存在两个不同点 ，使得曲线在这两点处的切线都与 轴垂直 ，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 第 II 卷 非选择题（ 90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 某中学有高中生 1500 人，初中生 1000 人，为了了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为 的样本，若样本中高中生恰有 30 人，则 的值为 __________ ． 14. 关于 的不等式 （其中 ）的解集为 ______. 15. 直三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 ，内接于球 O ，且 AB ⊥ BC ， AB =3 ． BC =4 ． AA 1 =4 ，则球 O 的表面积 ______ ． 16. 已知函数 ，若有且仅有一个整数 ，使 ，则实数 的取值范围是 __________ ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答 17. 在以 为极点的极坐标系中，圆 的圆心为 ，半径为 2. （ Ⅰ ）求圆 的极坐标方程； （ Ⅱ ）以极点为坐标原点，极轴为 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，取相同的单位长度 . 直线 （ 为参数）与圆 交于 、 两点，若 ，求 的值 . 18. 省环保厅对 、 、 三个城市同时进行了多天的空气质量监测，测得三个城市空气质量为优或良的数据共有 180 个，三城市各自空气质量为优或良的数据个数如下表所示： 城 城 城 优（个） 28 良（个） 32 30 已知在这 180 个数据中随机抽取一个，恰好抽到记录 城市空气质量为优的数据的概率为 0.2. （I） 现按城市用分层抽样的方法，从上述 180 个数据中抽取 30 个进行后续分析，求在 城中应抽取的数据的个数； （II） 已知 ， ，求在 城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率 . 19. 如图，点 O 是正方形 ABCD 的中心， ， ， ， DE = 1 ， ． （ 1 ） 证明： DE ⊥ 平面 ABCD ； （ 2 ） 求点 B 到平面 AFC 的距离． 20. 已知函数 ，其图象在点 处的切线方程为 . （ 1 ）求 ， 的值； （ 2 ）若函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围． 21. 已知圆 A ：（ x +1 ） 2 + y 2 ＝ 16 ，圆 C 过点 B （ 1 ， 0 ）且与圆 A 相切，设圆心 C 的轨迹为曲线 E ． （ Ⅰ ）求曲线 E 的方程； （ Ⅱ ）过点 B 作两条互相垂直 直线 l 1 ， l 2 ，直线 l 1 与 E 交于 M ， N 两点，直线 l 2 与圆 A 交于 P ， Q 两点，求 的取值范围． 22. 已知函数 . （ 1 ）讨论 的极值； （ 2 ）若 有两个零点 ， ，证明： . 泸县四中 2023 年春期高二第二学月考试 数学（文史类） 注意事项： 1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡