广东省汕头市2024届高三上学期12月期中考试数学试题（全解析版）

广东省 汕头市 2023-2024 学年度普通高中毕业班期中调研测试 数学 一 ､ 选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知全集 ，能表示集合 与 关系的 Venn 图是（） A. B. C . D. 2. 已知复数 与复数 都是纯虚数，则 （） A. B. C. D. 3. 设 ，则有（） A. B. C. D. 4. 为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学 ､ 法律 ､ 健康等知识的了解，某学校组织全校班级开展 “ 红色百年路 • 科普万里行 ” 知识竞赛 . 现抽取 10 个班级的平均成绩： ，据此估计该校各个班级平均成绩的第 40 百分位数为（） A. 77 B. 78 C. 76 D. 80 5. 已知 ，点 在线段 上（不包括端点），向量 ， 的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 图 1 是一个水平放置且高为 6 的直三棱柱容器 ，现往内灌进一些水，设水深为 . 将容器底面的一边 固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为 ，如图 2 ，则 （） A. 3 B. 4 C. D. 6 7. 已知函数 图象的一部分如图 1 ，则图 2 中的函数图象所对应的函数解析式是（） A. B. C. D. 8. 设 ，若函数 在 递增，则 的取值范围是（） A. B. C. D. 二､多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 . 9. 设 为两个互斥的事件，且 ，则（） A. B. C . D. 10. 已知圆 ，点 是直线 上一动点，过点 作直线 分别与圆 相切于点 ，则（） A. 圆 上恰有一个点到 的距离为 B. 直线 恒过定点 C. 的最小值是 D. 四边形 面积的最小值为 2 11. 如图，在长方体 中， 分别为棱 的中点，则下列结论正确的是（） A. 平面 B. ⊥ 平面 C. 异面直线 CN 和 AB 所成角的余弦值为 D. 若 P 为线段 上 动点，则点 P 到平面 CMN 的距离不是定值 12. 对于函数 ，则下列结论正确的是（） A. 是 一个周期 B. 在 上有 3 个零点 C. 的最大值为 D. 在 上是增函数 三､填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 第 16 题第一空 2 分，第二空 3 分 . 13. 以下 4 幅散点图所对应的样本相关系数 的大小关系为 __________ . 14. 高中数学教材含必修类课本 2 册，选择性必修类课本 3 册，现从中选择 3 册，要求两类课本中各至少选一册，则不同的选法共有 __________ 种 . （用数字作答） 15. 如图，在三棱锥 中， ，若 ，则直线 与 所成角的大小是 __________ . 16. 三等分角是 “ 古希腊三大几何问题 ” 之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题．古希腊数学家 Pappus （约 300~350 前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点 C 为圆心作圆交角的两边于 A ， B 两点；取线段 AB 的三等分点 O ， D ；以 B 为焦点， A ， D 为顶点作双曲线 H ．双曲线 H 与弧 AB 的交点记为 E ，连接 CE ，则 ． ① 双曲线 H 的离心率为 ________ ； ② 若 ， ， CE 交 AB 于点 P ，则 ________ ． 四､解答题：本题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤 . 17. 记 为数列 的前 项和，已知 是公差为 的等差数列 . （ 1 ）求 的通项公式； （ 2 ）设 ，证明： 18. 如图，长方体 中， ， ，若在 上存在点 ，使得 平面 . （ 1 ）求 的长； （ 2 ）求平面 与平面 夹角的余弦值 . 19. 某种疾病的历史资料显示，这种疾病的自然痊愈率为 . 为试验一种新药，在有关部门批准后，某医院把此药给 10 个病人服用，试验方案为：若这 10 个病人中至少有 5 人痊愈，则认为这种药有效，提高了治愈率；否则认为这种药无效 . 假设每个病人是否痊愈是相互独立的 . （ 1 ）如果新药有效，把治愈率提高到了 ，求经试验认定该药无效的概率 ；（精确到 0.001 ，参考数据： ） （ 2 ）根据（ 1 ）中 值的大小解释试验方案是否合理 . 20. 在凸四边形 中，对角线 交于点 ，且 . （ 1 ）若 ，求 的余弦值； （ 2 ）若 ，求边 的长 . 21. 设椭圆 的离心率为 ，上 ､ 下顶点分别为 . 过点 ，且斜率为 的直线 与 轴相交于点 ，与椭圆相交于 两点 . （ 1 ）若 ，求 的值； （ 2 ）是否存在实数 ，使得直线 平行于直线 ？证明你的结论 . 22. 已知函数 ， ． （ 1 ）若 的图像在点（ 1 ， f （ 1 ））处的切线过（ 3 ， 3 ），求函数 y = xf （ x ）的单调区间； （ 2 ）当 a >0 时，曲线 f （ x ）与曲线 g （ x ）存在唯一的公切线，求实数 a 的值． 汕头市 2023-2024 学年度普通高中毕业班期中调研测试 数学 答案 一 ､ 选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知全集 ，能表示集合 与 关系的 Venn 图是（） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 【分析】解一元二次不等式，结合集合的交运算即可判断 . 【详解】因为 ，