浙江省吴兴区第一中学2024届高三上学期期末数学试题（全解析版）

2 024 届浙江省吴兴区第一中学高三 第一学期期末调研测试卷 数学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上 . 2. 作答选择题时，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑 . 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上 . 不按以上要求作答的答案无效， 一､单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 （ ） A 8 B. 6 C. D. 3. 已知向量 ，则 在 上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 按从小到大顺序排列的两组数据：甲组： 27 ， 31 ， 37 ， m ， 42 ， 49 ；乙组： 24 ， n ， 33 ， 44 ， 48 ， 52 ，若这两组数据的第 30 百分位数、第 50 百分位数都分别对应相等，则 （ ） A. 60 B. 65 C. 70 D. 71 5 已知 ，且 ，则（ ） A. B. C. D. 6. 记 是数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；设乙： ，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙 充分条件也不是乙的必要条件 7. 在正四棱锥 中，底面 的边长为 为正三角形，点 分别在 上，且 ，若过点 的截面交 于点 ，则四棱锥 的体积是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 ，若总存在两条不同的直线与函数 ， 图象均相切，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分 . 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 在 列联表中，若每个数据 均变为原来的 2 倍，则 的值不变 B. 已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 C. 在一组样本数据的散点图中，若所有样本点 都在直线 上，则这组样本数据的样本相关系数为 0.9 D. 分别抛掷 2 枚相同的硬币，事件 表示为 “ 第 1 枚为正面 ” ，事件 表示为 “ 两枚结果相同 ” ，则事件 是相互独立事件 10. 已知正数 满足 ，下列结论中正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 2 C. 的最小值为 D. 的最大值为 1 11. 纯音的数学模型是函数 ，但我们平时听到的乐音不止是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音 . 复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为 的基音的同时，其各部分，如二分之一､三分之一､四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如 等 . 这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易单独听出来，所以我们听到的声音函数是 . 记 ，则下列结论中正确的是（ ） A. 为 的一条对称轴 B. 的周期为 C. 的最大值为 D. 关于点 中心对称 12. 已知 为坐标原点，点 在抛物线 上，过点 的直线交抛物线 于 两点，则下列结论正确的是（ ） A. 抛物线 的准线方程为 B. 直线 与抛物线 相切 C. 为定值 D. 三､填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 已知 的展开式中含 项的系数为 8 ，则实数 ___________ . 14. 已知圆 的圆心在直线 上且与 轴相切，请写出一个同时满足上述条件的圆的标准方程： __________ . 15. 已知一个圆台 上､下底面半径为 ，若球 与该圆台的上､下底面及侧面均相切，且球 与该圆台体积比为 ，则 __________ . 16. 已知双曲线 的左右顶点分别为 ，点 满足 ，点 为双曲线右支上任意一点（异于点 ），以 为直径的圆交直线 于点 ，直线 与直线 交于点 . 若 点的横坐标等于该圆的半径，则该双曲线的离心率是 __________ . 四､解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤 . 17. 记 的内角 的对边分别是 ，已知 ， . （ 1 ）求角 的大小； （ 2 ）求 的面积 . 18. 已知数列 的前 n 项和为 ，数列 为等差数列，且满足 ． （ 1 ）求数列 和 通项公式； （ 2 ）若 ，求数列 的前 项和 ． 19. 如图，在多面体 中，四边形 为平行四边形，且 平面 ，且 . 点 分别为线段 上的动点，满足 . （ 1 ）证明：直线 平面 ； （ 2 ）是否存在 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？请说明理由 . 20. 杭州第 届亚运会，是继 年北京亚运会、 年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事 . 年 月 日，杭州亚运会开幕式隆重举行 . 某电商平台亚运 周边文创产品直播间，主播为当晚 点前登录该直播间的前 名观众设置了两轮 “ 庆亚运、送吉祥物 ” 的抽奖活动 . 每轮抽奖都是由系统独立、随机地从这 名观众中抽取 名幸运观众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送 . 而直播时这 名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为 （幸运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次