四川省宜宾市叙州区第二中学校2022-2023学年高二下学期期中理科数学试题 （原卷全解析版）

叙州区第二中学 2023 年春期高二期中考试 数学（理工类） 第 I 卷 选择题（ 60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 某学校有高一、高二、高三三个年级，已知高一、高二、高三的学生数之比为 ，现用分层抽样抽取一个容量为 的样本，从高一学生中用简单随机抽样抽取样本时，学生甲被抽到的概率为 ，则该学校学生的总数为（ ） A. B. C. D. 2. 命题 “ ” 的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 复数 （ i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 用电脑每次可以从区间 内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成 3 个实数，则这 3 个实数都大于 的概率为 A. B. C. D. 5. 如图，某系统使用 ， ， 三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．当元件 正常工作且 ， 中至少有一 个正常工作时系统即可正常工作．若元件 ， ， 正常工作的概率分别为 0.7 ， 0.9 ， 0.8 ，则系统正常工作的概率为（ ） A. 0.196 B. 0.504 C. 0.686 D. 0.994 6. 已知正四棱柱 中， ， 为 中点，则异面直线 与 所形成角的余弦值为 A. B. C. D. 7. 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占 70% ，乙厂产品占 30% ，甲厂产品的合格率是 95% ，乙厂产品的合格率是 80% ，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是（ ） A. 0.665 B. 0.564 C. 0.245 D. 0.285 8. 已知直线 l 分别与函数 和 的图象都相切，且切点的横坐标分别为 ， ，则 （ ） A e B. C. 1 D. 2 9. 除以 的余数是 A. B. C. D. 10. 已知 F 2 ， F 1 是双曲线 的上，下两个焦点，点 F 2 关于渐近线的对称点恰好落在以 F 1 为圆心， | OF 1 | 为半径的圆上，则双曲线的离心率为 A. 2 B. C. 3 D. 11. 直线 和 将圆 分成 4 部分，用 5 种不同颜色给四部分染色， 每部分染一种颜色，相邻部分不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（　　） A 120 种 B. 240 种 C. 260 种 D. 280 种 12. 已知定义在 上的函数 满足 ，当 时， ．则 的解集为（ ） A. B. C. D. 第 II 卷 非选择题（ 90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 设随机变量 的分布列为 ，（ ， 2 ， 3 ），则 a 的值为 ___________ . 14. 函数 的单调递减区间为 ____________. 15. 将 4 瓶外观相同，品质不同的酒让品酒师品尝，要求按品质优劣将 4 种酒排序，经过一段时间后，再让其品尝这 4 瓶酒，并让他重新按品质优劣将 4 种酒排序．根据测试中两次排序的偏离程度评估品酒师的能力． 表示第一次排序为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的四种酒分别在第二次排序中的序号，记 为其偏离程度，假设 为 1 ， 2 ， 3 ， 4 的等可能的各种排列．假设每轮测试之间互不影响， 表示在 1 轮测试中 的概率， 表示在前 3 轮测试中恰好有一轮 的概率，则 ____________ ． 16. 过点 的直线与抛物线 交于 ， 两点，线段 的垂直平分线经过点 ， 为抛物线的焦点，则 的值为 __________ ． 三、解答题：共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 第 17 ～ 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分 17. 近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（ ，简称 ）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照 大小分为六级， 为优； 为良； 为轻度污染； 为中度污染； 为重度污染；大于 300 为严重污染．环保部门记录 了 2017 年某月哈尔滨市 10 天的 的茎叶图如下： （ 1 ）利用该样本估计该地本月空气质量优良（ ）的天数；（按这个月总共 30 天计算） （ 2 ）现工作人员从这 10 天中空气质量为优良的日子里随机抽取 2 天进行某项研究，求抽取的 2 天中至少有一天空气质量是优的概率； （ 3 ）将频率视为概率，从本月中随机抽取 3 天，记空气质量优良的天数为 ，求 的概率分布列和数学期望 . 18. 已知函数 处取得极值， （ 1 ）求 的值及 的单调区间； （ 2 ）若函数 在区间 上的最大值为 ，求实数 的值 . 19. 如图，四棱锥 C - ABDE 中， ， AE =2 BD =2 ，点 F 是 AB 的中点，点 G 在线段 DC 上，且 （ 1 ） 求证： BG // 平面 CEF ； （ 2 ） 若 AE ⊥ 平面 ABC ， AE = AB ， ，求二面角 F - EC - D 的正弦值． 20. 已知椭圆 的离心率 ，左、右焦点分别为 ，点 ，点 在线段 的中垂线上． （1 ）求椭圆 的方程； （2 ）设直线 与椭圆 交于 两点，直线 与 的倾斜角分别为 ，且 ，求证：直线 过定点，并求该定点的坐标． 21 已知函数 . （ 1 ）求 在 处的切线方程； （ 2 ）若 时，不等式 恒成立，证明： . （二）