北京市通州区2021-2022学年高二（上）期末数学（原卷全解析版）

北京市通州区 2 021- 2022 高二（上）期末 数 学 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1 ．（ 4 分）椭圆 上一点 到一个焦点的距离为 3 ，则 到另一个焦点的距离是 　　 A ． 47 B ． 7 C ． 5 D ． 2 2 ．（ 4 分）已知双曲线 ，则双曲线的离心率为 　　 A ． B ． C ． D ． 3 ．（ 4 分）已知双曲线 ，则双曲线的渐近线方程为 　　 A ． B ． C ． D ． 4 ．（ 4 分）设 ， ，则 与 的等比中项为 　　 A ． 4 B ． C ． D ． 5 ．（ 4 分）等差数列 的公差 ，且 ， ，则数列 的通项公式是 　　 A ． B ． C ． D ． 6 ．（ 4 分）设数列 的前 项和为 ，且 ，则 　　 A ． 32 B ． 31 C ． 16 D ． 15 7 ．（ 4 分）设抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线 上一点，点 坐标为 ，则 的最小值为 　　 A ． B ． 3 C ． 16 D ． 15 8 ．（ 4 分）已知数列 的通项公式为 ，则 “ ” 是 “ 数列 为单调递增数列 ” 的 　　 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 9 ．（ 4 分）如图是抛物线拱形桥，当水面在 时，拱顶离水面 ，水面宽 ，若水面上升 ，则水面宽是 　　 （结果精确到 （参考数值： ． A ． B ． C ． D ． 10 ．（ 4 分）已知数列 满足： ， ，则 　　 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 11 ．（ 5 分）已知等比数列 ， ， ，则公比 　　 ． 12 ．（ 5 分）若曲线 是焦点在 轴上的双曲线，则 的一个取值为 　　 ． 13 ．（ 5 分）设数列 为等差数列，若 ，则 　　 ． 14 ．（ 5 分）设数列 满足 ，则 　　 ， 　　 ． 15 ．（ 5 分）设 为坐标原点，点 是 上一个动点， 为 与线段 的交点，经点 作 轴的垂线 ，经点 作直线 垂线， 为垂足．则点 的轨迹方程为 　　 ． 16 ．（ 5 分）已知曲线 ．关于曲线 有四个结论： ① 直线 是曲线 的一条对称轴． ② 曲线 是中心对称图形． ③ 设曲线 所围成的区域面积 ，则 ． ④ 曲线 上的点到原点距离的最小值是 ． 则其中所有正确的结论序号是 　　 ． 三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17 ．（ 12 分）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ． （ Ⅰ ）求数列 的通项公式； （ Ⅱ ）设 ，求数列 的前 项和 ． 18 ．（ 13 分）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的焦点 与椭圆 的右焦点重合． （ Ⅰ ）求椭圆 的离心率； （ Ⅱ ）求抛物线 的方程； （ Ⅲ ）设 是抛物线 上一点，且 ，求点 的坐标． 19 ．（ 13 分）设等差数列 的前 项和为 ， 为各项均为正数的等比数列，且 ， ，再从条件 ① ： ； ② ： ； ③ ： 这三个条件中选择一个作为已知， 解答下列问题： （ Ⅰ ）求 和 的通项公式； （ Ⅱ ）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： ． 20 ．（ 13 分）已知直线 与双曲线 交于 ， 两点， 为坐标原点． （ Ⅰ ）当 时，求线段 的长； （ Ⅱ ）若以 为直径的圆经过坐标原点 ，求 的值． 21 ．（ 14 分）已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆 上，直线 与 交于 ， 两点． （ Ⅰ ）求椭圆 的方程及焦点坐标； （ Ⅱ ）若线段 的垂直平分线经过点 ，求 的取值范围． 22 ．（ 15 分）设数列 的前 项和为 ， ，且 ． （ Ⅰ ）若 ． （ ⅰ ）求 ； （ ⅱ ）求证数列 成等差数列． （ Ⅱ ）若数列 为递增数列，且 ，试求满足条件的所有正整数 的值． 参考答案 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1 ．【分析】先根据条件求出 ；再根据椭圆定义得到关于所求距离 的等式即可得到结论． 【解答】解：设所求距离为 ，由题得： ． 根据椭圆的定义椭圆上任意一点到两个焦点距离的和等于 得： ． 故选： ． 【点评】本题主要考查椭圆的定义．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口． 2 ．【分析】利用双曲线方程，求解 ， ，求解离心率． 【解答】解：双曲线 ， ， ，则 ， 可得 ． 故选： ． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题． 3 ．【分析】利用双曲线方程，求解渐近线方程即可． 【解答】解：双曲线 ，则双曲线的渐近线方程为 ． 故选： ． 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题． 4 ．【分析】根据等比中项的性质即可求出． 【解答】解： ， ，则 与 的等比中项为 ． 故选： ． 【点评】本题考查了等比中项的性质，属于基础题． 5 ．【分析】由题意列式求出公差，然后代入等差数列的通项公式求解． 【解答】解：由 ， ，且 ，解得 ， ． 所以 ． 则 ． 故选： ． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式，如果给出了等差数列公差和第 项 ，则 ，是基础题． 6 ．【分析】数列 的前 项和为 ，且 ，利用公式 直接求解． 【解答】解： 数列 的前 项和为 ，且 ， ． 故选： ． 【点评】本题考查数列的第 5 项的