算式巧求和
【知识综述】
同学们
,
对于一些分数计算题
,
若按通常的方法计算就会比较复杂
,
必须借助某些技巧
,
寻找简便的运算方法。下面我们介绍几种常用方法：
1.
裂项法
(
拆分法
):
就是将分数写成两个或几个分数的和或差的形式
,
我们称之为裂项法
(
或拆分法
)
。
裂项公式
:(1)
(2)
2.
等差数列
:
像
1,2,3,4,
…
这样后一项与前一项的差都相等的数列称为等差数列。
求和公式为
:S
n
=
(a
1
为首项，
a
n
为末项，
n
为项数）
3
．错位相减法。根据算式的特点
,
将原算式扩大到原来的整数
(0
除外
)
倍
,
用扩大后的算式同原算式相减
,
再除以扩大的倍数与
1
的差
,
可以使复杂的计算变得简便。
【典型例题
1
】
计算：
+
+
+
…
+
+
思路点拨：
这道题如果按常规办法先通分再求和，计算起来很繁杂，甚至难以做到。但是如果巧妙地对算式变形，就可以使繁杂的计算简便。
+
+
+
…
+
+
=
（
—
）
+
（
—
）
+
（
—
）
+
…
+
（
—
）
+
（
—
=
—
+
—
+
—
+
…
+
—
+
—
(
去掉括号
)
=
—
=
小试身手
用简便方法计算下面各题
1
．
+
+
+
…
+
+
2
．
+
+
+
…
+
+
3
．
+
+
+
…
+
+
【典型例题
2
】
计算：
+
+
…
+
思路点拨
:
这道题中每一个分数的分母都可以写成不相邻的两个自然数乘积的形式，分子是这两个自然数的差。这样的每一个分数也可以写成两个分数差的形式，写成的两个分数的分子是自然数
1
，分母分别是原分数中分母上的两个自然数。
+
+
…
+
=
—
）
+
（
）
+
…
(
—
)
=
小试身手：
用简便方法计算下列各题
1
．
+
+
+
…
+
+
2
．
+
+
…
+
+
3
．
+
【
典型例题
3
】
计算：
思路点拨：
可以先去掉括号，对算式变形
=1
=2005
—
(
)
=2005
—
(1+2+3+
…
+2004+2005)
=2005
—
=2005
—
1003
=1002
注：这里用到了等差数列求和公式，即
s=
(
这里
是一组数列的首项，
是末项，
n
是项数。）而
1
，
2
，
3
，
4
，……
2004
，
2005
是一组等差数列，所以
1+2+3+
……
+2004+2005=
.
小试身手
计算：
1
．
2.
【典型例题
4
】
计算：
思路点拨：
先算出每一个分数中的分母，再仔细观察每一个分数，找出规律
=
=
（
）
=
（
）
=
小试身手
1
．
2
．
3
．
综合练习
1
．
+
+
…
+
+
2
．
3
．
1
—
—
—
—
—
—
4
．
5
．
。
6
．
7
．
【
挑战自我
】
+
+
+
…
+
算式巧求和（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版
