2022年华侨、港澳、台联考高考数学试卷（全解析版）

2022 年华侨、港澳、台联考高考数学试卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ．设集合 ， 2 ， 3 ， 4 ， ， ，则 　　 A ． B ． ， C ． ， D ． 2 ．已知 ，则 　　 A ． B ． 1 C ． D ． 3 3 ．已知向量 ， ．若 ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 4 ．不等式 的解集是 　　 A ． ， ， B ． ， ， C ． ， ， D ． ， ， 5 ．以 为焦点， 轴为准线的抛物线的方程是 　　 A ． B ． C ． D ． 6 ．底面积为 ，侧面积为 的圆锥的体积是 　　 A ． B ． C ． D ． 7 ．设 和 是函数 的两个极值点．若 ，则 　　 A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 8 ．已知函数 ．若 ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 9 ．函数 的反函数是 　　 A ． B ． C ． D ． 10 ．设等比数列 的首项为 1 ，公比为 ，前 项和为 ．令 ，若 也是等比数列，则 　　 A ． B ． C ． D ． 11 ．若双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则 的离心率为 　　 A ． 5 B ． C ． D ． 12 ．在 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数的和能被 3 整除的概率是 　　 A ． B ． C ． D ． 二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 13 ．曲线 在点 处的切线方程为 　　 ． 14 ．已知 为坐标原点，点 在圆 上，则 的最小值为 　　 ． 15 ．若 ，则 　　 ． 16 ．设函数 是增函数，若 ，则 　　 ． 17 ．在正三棱柱 中， ， ，则异面直线 与 所成角的大小为 　　 ． 18 ．设 是定义域为 的奇函数， 是定义域为 的偶函数．若 ，则 （ 2 ） 　　 ． 三、解答题：本题共 4 小题，每小题 15 分，共 60 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19 ．（ 15 分）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ， ． （ 1 ）求 ； （ 2 ）求 ． 20 ．（ 15 分）设 是首项为 1 ，公差不为 0 的等差数列，且 ， ， 成等比数列． （ 1 ）求 的通项公式； （ 2 ）令 ，求数列 的前 项和 ． 21 ．（ 15 分）甲、乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛，先赢得 3 局的运动员获胜，并结束比赛．设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲赢的概率为 ，乙赢的概率为 ． （ 1 ）求甲获胜的概率； （ 2 ）设 为结束比赛所需要的局数，求随机变量 的分布列及数学期望． 22 ．（ 15 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线 交 于 ， 两点， ，四边形 的面积为 ． （ 1 ）求 ； （ 2 ）求 的方程． ———————————————————————————————————— ———————————————————————————————————— 2022 年华侨、港澳、台联考高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 ．设集合 ， 2 ， 3 ， 4 ， ， ，则 　　 A ． B ． ， C ． ， D ． 【解析】： 集合 ， 2 ， 3 ， 4 ， ， ， ， ， ， ， 1 ， ， ， 2 ， ， 则 ， ，故选： ． 2 ．已知 ，则 　　 A ． B ． 1 C ． D ． 3 【解析】： ， ． 故选： ． 3 ．已知向量 ， ．若 ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 【解析】： ， ， ． ， ， ． 故选： ． 4 ．不等式 的解集是 　　 A ． ， ， B ． ， ， C ． ， ， D ． ， ， 【解析】：不等式 ， 即 ， ， 即 ， ， 解得 ， ， ． 故选： ． 5 ．以 为焦点， 轴为准线的抛物线的方程是 　　 A ． B ． C ． D ． 【解析】：以 为焦点， 轴为准线的抛物线中 ， 所以顶点坐标为焦点与准线与 轴的交点的中点的横坐标为 ， 即该抛物线的方程为： ， 故选： ． 6 ．底面积为 ，侧面积为 的圆锥的体积是 　　 A ． B ． C ． D ． 【解析】：设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ， 由题意可得 ，解得 ， ， 圆锥的高 ． 圆锥的体积是 ． 故选： ． 7 ．设 和 是函数 的两个极值点．若 ，则 　　 A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 【解析】： 函数 ， ， 又 和 是函数 的两个极值点， 则 和 是方程 的两根， 故 ， ， 又 ， 则 ， 即 ， 则 ， 故选： ． 8 ．已知函数 ．若 ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 【解析】： 函数 ， ， 函数 的一条对称轴为 ，即 或 ，故 ．或 ． ①．不妨 时， 时，①不成立；当 时，①成立， 故 ， 故选： ． 9 ．函数 的反函数是 　　 A ． B ． C ． D ． 【解析】：由 可得： ， 因为 ，所以 ，则 ， 所以原函数的反函数为 ． 故选： ． 10 ．设等比数列 的首项为 1 ，公比为 ，前 项和为 ．令 ，若 也是等比数列，则 　　 A ． B ． C ． D ． 【解析】：由题意可知， ， ， ， ，若 也是等比数列， ，即 ，即 ，解得 或 （舍去）． 故选： ． 11 ．若双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则 的离心率为 　　 A ． 5 B ． C ． D ． 【解析】：由双曲线 的方程可得渐近线方程为 ， 由题意可得 ， 所以双曲线的离心率 ， 故选： ． 12 ．在 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数的和能被 3 整