北京市西城区2021-2022学年高一（上）期末数学试题（原卷全解析版）

北京 市 西城 区 2 021- 2022 学年 高一（上）期末 数 学 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1 ．（ 4 分）已知集合 ， ，那么 　　 A ． B ． C ． D ． 2 ．（ 4 分）方程组 的解集是 　　 A ． ， B ． ， C ． ， D ． 3 ．（ 4 分）函数 的定义域是 　　 A ． ， B ． ， C ． ， ， D ． ， ， 4 ．（ 4 分）为保障食品安全，某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查，现从其生产的某种产品中随机抽取 100 件作为样本，并以产品的一项关键质量指标值为检测依据，整理得到如下的样本频率分布直方图．若质量指标值在 ， 内的产品为一等品，则该企业生产的产品为一等品的概率约为 　　 A ． 0.38 B ． 0.61 C ． 0.122 D ． 0.75 5 ．（ 4 分）若 ， ，则一定有 　　 A ． B ． C ． D ．以上答案都不对 6 ．（ 4 分）已知向量 ， ，那么 　　 A ． 5 B ． C ． 8 D ． 7 ．（ 4 分）若 ，则 　　 A ． B ． C ． D ． 8 ．（ 4 分）设 ， 为平面向量，则 “ 存在实数 ，使得 ” 是 “ 向量 ， 共线 ” 的 　　 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 9 ．（ 4 分）设 为 上的奇函数，且在 上单调递增， （ 1 ） ，则不等式 的解集是 　　 A ． B ． C ． D ． ， ， 10 ．（ 4 分）如图， 为半圆的直径，点 为 的中点，点 为线段 上的一点（含端点 ， ，若 ，则 的取值范围是 　　 A ． ， B ． ， C ． ， D ． ， 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分． 11 ．（ 5 分）命题 “ ， ” 的否定是 　　 ． 12 ．（ 5 分）如图茎叶图表示的是甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩，记甲、乙的平均成绩分别为 ， ，则 ， 的大小关系是 　　 ． 13 ．（ 5 分）若不等式 的解集为 ，则 　　 ， 　　 ． 14 ．（ 5 分）如图，在正六边形 中，记向量 ， ，则向量 　　 ．（用 ， 表示） 15 ．（ 5 分）设函数 的定义域为 ，若存在实数 ，使得对于任意 ，都有 ，则称 为 “ 单调增函数 ” ． 对于 “ 单调增函数 ” ，有以下四个结论： ① “ 单调增函数 ” 一定在 上单调递增； ② “ 单调增函数 ” 一定是 “ 单调增函数 ” （其中 ，且 ③ 函数 是 “ 单调增函数 ” （其中 表示不大于 的最大整数）； ④ 函数 不是 “ 单调增函数 ” ． 其中，所有正确的结论序号是 　　 ． 三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16 ．（ 13 分）在体育知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关篮球知识的问题，已知甲答题正确的概率是 ，乙答题错误的概率是 ，乙、丙两人都答题正确的概率是 ，假设每人答题正确与否是相互独立的． （ Ⅰ ）求丙答题正确的概率； （ Ⅱ ）求甲、丙都答题错误，且乙答题正确的概率． 17 ．（ 15 分）设 ，其中 ． （ Ⅰ ）当 时，求函数 的图像与直线 交点的坐标； （ Ⅱ ）若函数 有两个不相等的正数零点，求 的取值范围； （ Ⅲ ）若函数 在 上不具有单调性，求 的取值范围． 18 ．（ 14 分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击 4 局，每局射击 10 次，射击命中目标得 1 分，未命中目标得 0 分．两人 4 局的得分情况如下： 甲 6 6 9 9 乙 7 9 （ Ⅰ ）若乙的平均得分高于甲的平均得分，求 的最小值； （ Ⅱ ）设 ， ，现从甲、乙两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局，并将其得分分别记为 ， ，求 的概率； （ Ⅲ ）在 4 局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出 的所有可能取值．（结论不要求证明） 19 ．（ 15 分）已知函数 ． （ Ⅰ ）若 （ a ） ，求 的值； （ Ⅱ ）判断函数 的奇偶性，并证明你的结论； （ Ⅲ ）若 对于 ， 恒成立，求实数 的范围． 20 ．（ 13 分）某渔业公司年初用 98 万元购进一艘渔船，用于捕捞．已知该船使用中所需的各种费用 （单位：万元）与使用时间 ，单位：年）之间的函数关系式为 ，该船每年捕捞的总收入为 50 万元． （ Ⅰ ）该渔船捕捞几年开始盈利（即总收入减去成本及所有使用费用为正值）？ （ Ⅱ ）若当年平均盈利额达到最大值时，渔船以 30 万元卖出，则该船为渔业公司带来的收益是多少万元？ 21 ．（ 15 分）设 是实数集的非空子集，称集合 ， ，且 为集合 的生成集． （ Ⅰ ）当 ， 3 ， 时，写出集合 的生成集 ； （ Ⅱ ）若 是由 5 个正实数构成的集合，求其生成集 中元素个数的最小值； （ Ⅲ ）判断是否存在 4 个正实数构成的集合 ，使其生成集 ， 3 ， 5 ， 6 ， 10 ， ，并说明理由． 参考答案 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1 ．【分析】先求出集合 ，再利用并集定义能求出 ． 【解答】解： 集合 ， ， ． 故选： ． 【点评】本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2 ．【分析】利用代入法可求得方程组的解集． 【解答】解：由 ，得 ， 代入 ，