平面向量与解三角形 -2023年全国高考数学试题真题汇编（原卷全解析版）

平面向量与解三角形 2023 年全国高考数学试题真题汇编 考试范围：平面向量与解三角形；考试时间： 120 分钟； 一．选择题（共 8 小题） 1 ．（ 2023• 甲卷）向量 | | ＝ | | ＝ 1 ， | | ＝ ，且 + ＝ ，则 cos ⟨ ﹣ ， ﹣ ⟩ ＝（　　） A ． B ． C ． D ． 2 ．（ 2023• 北京）在 △ ABC 中，（ a + c ）（ sin A ﹣ sin C ）＝ b （ sin A ﹣ sin B ），则 ∠ C ＝（　　） A ． B ． C ． D ． 3 ．（ 2023• 北京）已知向量 ， 满足 + ＝（ 2 ， 3 ）， ﹣ ＝（﹣ 2 ， 1 ），则 | | 2 ﹣ | | 2 ＝（　　） A ．﹣ 2 B ．﹣ 1 C ． 0 D ． 1 4 ．（ 2023• 甲卷）已知向量 ＝（ 3 ， 1 ）， ＝（ 2 ， 2 ），则 cos ⟨ + ， ﹣ ⟩ ＝（　　） A ． B ． C ． D ． 5 ．（ 2023• 全国）设向量 ， ，若 ，则 x ＝（　　） A ． 5 B ． 2 C ． 1 D ． 0 6 ．（ 2023• 新高考Ⅰ）已知向量 ＝（ 1 ， 1 ）， ＝（ 1 ，﹣ 1 ）．若（ + λ ） ⊥ （ + μ ），则（　　） A ． λ + μ ＝ 1 B ． λ + μ ＝﹣ 1 C ． λμ ＝ 1 D ． λμ ＝﹣ 1 7 ．（ 2023• 乙卷）正方形 ABCD 的边长是 2 ， E 是 AB 的中点，则 • ＝（　　） A ． B ． 3 C ． 2 D ． 5 8 ．（ 2023• 乙卷）在 △ ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，若 a cos B ﹣ b cos A ＝ c ，且 C ＝ ，则 ∠ B ＝（　　） A ． B ． C ． D ． 二．填空题（共 9 小题） 9 ．（ 2023• 上海）已知向量 ＝（ 3 ， 4 ）， ＝（ 1 ， 2 ），则 ﹣ 2 ＝ 　 　 ． 10 ．（ 2023• 全国）在 △ ABC 中， A ＝ 2 B ， a ＝ 6 ， b ＝ 4 ，则 cos B ＝ 　 　 ． 11 ．（ 2023• 上海）已知 △ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边 a ＝ 4 ， b ＝ 5 ， c ＝ 6 ，则 sin A ＝ 　 　 ． 12 ．（ 2023• 上海）已知向量 ＝（﹣ 2 ， 3 ）， ＝（ 1 ， 2 ），则 • ＝ 　 　 ． 13 ．（ 2023• 新高考Ⅱ）已知向量 ， 满足 | ﹣ | ＝ ， | + | ＝ |2 ﹣ | ，则 | | ＝ 　 　 ． 14 ．（ 2023• 甲卷）在 △ ABC 中， ∠ BAC ＝ 60° ， AB ＝ 2 ， BC ＝ ， D 为 BC 上一点， AD 为 ∠ BAC 的平分线，则 AD ＝ 　 　 ． 15 ．（ 2023• 天津）在 △ ABC 中， ∠ A ＝ 60° ， | | ＝ 1 ，点 D 为 AB 的中点，点 E 为 CD 的中点，若设 ＝ ， ＝ ，则 可用 ， 表示为 　 　 ；若 ＝ ，则 • 的最大值为 　 　 ． 16 ．（ 2023• 上海）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为 4 米，坡面与水平面所成夹角为 θ ．行人每沿着斜坡向上走 1 m 消耗的体力为（ 1.025 ﹣ cos θ ），欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则 θ ＝ 　 　 ． 17 ．（ 2023• 上海）已知 、 、 为空间中三组单位向量，且 ⊥ 、 ⊥ ， 与 夹角为 60° ，点 P 为空间任意一点，且 | | ＝ 1 ，满足 | • |≤| • |≤| • | ，则 | • | 最大值为 　 　 ． 三．解答题（共 6 小题） 18 ．（ 2023• 乙卷）在 △ ABC 中，已知 ∠ BAC ＝ 120° ， AB ＝ 2 ， AC ＝ 1 ． （ 1 ）求 sin ∠ ABC ； （ 2 ）若 D 为 BC 上一点．且 ∠ BAD ＝ 90° ，求 △ ADC 的面积． 19 ．（ 2023• 新高考Ⅰ）已知在 △ ABC 中， A + B ＝ 3 C ， 2sin （ A ﹣ C ）＝ sin B ． （ 1 ）求 sin A ； （ 2 ）设 AB ＝ 5 ，求 AB 边上的高． 20 ．（ 2023• 甲卷）记 △ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 ＝ 2 ． （ 1 ）求 bc ； （ 2 ）若 ﹣ ＝ 1 ，求 △ ABC 面积． 21 ．（ 2023• 天津）在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ．已知 a ＝ ， b ＝ 2 ， ∠ A ＝ 120° ． （Ⅰ）求 sin B 的值； （Ⅱ）求 c 的值； （Ⅲ）求 sin （ B ﹣ C ）的值． 22 ．（ 2023• 新高考Ⅱ）记 △ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 △ ABC 面积为 ， D 为 BC 的中点，且 AD ＝ 1 ． （ 1 ）若 ∠ ADC ＝ ，求 tan B ； （ 2 ）若 b 2 + c 2 ＝ 8 ，求 b ， c ． 23 ．（ 2023• 上海）在 △ ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对应的边分别为 a 、 b 、 c ，其中 b ＝ 2 ． （ 1 ）若 A + C ＝ 120° ， a ＝ 2 c ，求边长 c ； （ 2 ）若 A ﹣ C ＝ 15° ， a ＝ c sin A ，求 △ ABC 的面积． 平面向量与解三角形 2023 年全国高考数学试题真题汇编 参考答案与试题解析 一．选择题（共 8 小题） 1 ．（ 2023• 甲卷）向量 | | ＝ | | ＝ 1 ， | | ＝ ，且 + ＝ ，则 cos ⟨ ﹣ ， ﹣ ⟩ ＝（　　） A ． B ． C ． D ． 【答案】 D 【解答】解：因为向量 | | ＝ | | ＝ 1 ， | | ＝ ，且 + ＝ ，所以﹣ ＝ + ， 所以 ＝ + +2 • ， 即 2 ＝ 1+1+2×1×1×cos ＜ ， ＞， 解得 cos ＜ ， ＞＝ 0 ， 所以 ⊥ ， 又 ﹣ ＝ 2 + ， ﹣ ＝ +2 ， 所以（ ﹣ ） • （ ﹣ ）＝（ 2 + ） • （ +2 ）＝ 2 +2 +5 • ＝ 2+2+0 ＝ 4 ， | ﹣ | ＝ | ﹣ |