山东省高中名校2023-2024学年高三上学期12月统一调研考试数学试题（原卷全解析版）

绝密 ★ 启用并使用完毕前 山东高中名校 2024 届高三上学期统一调研考试 数学试题 2023.12 注意事项 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置 . 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 . 回答非选择题时，将答案写在答题卡上 . 写在本试卷上无效 . 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 . 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 集合 ，则 （ ） A B. C. D. 2. 已知直线 和平面 ，满足 ，则 “ ” 是 “ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 复数 满足 ，则 的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 4. 已知 是半径为 2 的圆上的三个动点，弦 所对的圆心角为 ，则 的最大值为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 5. 已知函数 部分图象，则 （ ） A. B. C. D. 6. 已知 ，则下列结论错误的是（ ） A. 是周期函数 B. 在区间 上单调递增 C. 的图象关于 对称 D. 方程 在 有 2 个相异实根 7 已知 ，则有（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 是定义在 上的奇函数，对任意 ，都有 ，当 时， ，则 在 上的零点个数为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 21 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 . 9. 已知 ，下列结论正确的是（ ） A. 对任意实数 B. 若 ，则 C. 若 ，则 的最小值是 D. 若 ，则 10. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ） A. 在 上的最小值为 B. 的图象与 轴有 3 个公共点 C. 的图象关于点 对称 D. 的图象过点 的切线有 3 条 11. 如图，长方形 中， 为 的中点，现将 沿 向上翻折到 的位置，连接 ，在翻折的过程中，以下结论正确的是（ ） A. 存在点 ，使得 B. 四棱锥 体积的最大值为 C. 的中点 的轨迹长度为 D. 与平面 所成的角相等 12. 设 为平面 内 个点，平面 内到点 的距离之和最小的点，称为点 的 “ 优点 ”. 例如，线段 上的任意点都是端点 的优点 . 则有下列命题为真命题的有：（ ） A. 若三个点 共线， 在线段 上，则 是 的优点 B. 若四个点 共线，则它们的优点存在且唯一 C. 若四个点 能构成四边形，则它们的优点存在且唯一 D. 直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的优点 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 某学校报告厅共有 20 排座位，从第 2 排起后一排都比前一排多 2 个座位 . 若第 10 排有 41 个座位，则该报告厅座位的总数是 ______ . 14. 已知 ，则 ______ . 15. 已知圆锥的母线长为 （定值），当圆锥体积最大时，其侧面展开图的圆心角大小为 ______ . 16. 已知 内角分别为 ，且满足 ，则 的最小值为 ______ . 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. 记 的内角 的对边分别为 ，已知 . （ 1 ） 求 ： （ 2 ） 若 ，求 面积 . 18. 已知函数 . （ 1 ） 若 在 处的切线 垂直于直线 ，求 的方程； （ 2 ） 讨论 的单调性 . 19. 已知数列 是公比不相等的两个等比数列，令 . （ 1 ） 证明：数列 不是等比数列； （ 2 ） 若 ，是否存在常数 ，使得数列 为等比数列？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由 . 20. 如图，在四棱台 中，底面 为平行四边形， ，侧棱 底面 为棱 上的点 . . （ 1 ） 求证： ； （ 2 ） 若 为 的中点， 为棱 上的点，且 ，求平面 与平面 所成角的余弦值 . 21. 已知数列 前 项和为 ，且对任意的正整数 与 的等差中项为 . （ 1 ） 求数列 的通项公式； （ 2 ） 证明： . 22. 已知函数 ，其导函数为 . （ 1 ） 若 在 不是单调函数，求实数 的取值范围； （ 2 ） 若 在 恒成立，求实数 的最小整数值 . 绝密★启用并使用完毕前 山东高中名校 2024 届高三上学期统一调研考试 数学试题 2023.12 注意事项 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置 . 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号 . 回答非选择题时，将答案写在答题卡上 . 写在本试卷上无效 . 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 . 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 【分析】 分别求出集合 ，再运用并集运算求解 . 【详解】 ， 则 . 故选： C 2. 已知直线 和平面 ，满足 ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件