精品解析：山东省威海市2023届高三下学期一模数学试题

山东省威海市 2023 届 高三 下学期一模 数学 试题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 若 是纯虚数，则 a ＝（ ） A. － 1 B. 1 C. － 9 D. 9 3. 已知等比数列 的前三项和为 84 ， ，则 的公比为（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 随着经济的发展和人民生活水平的提高，我国的旅游业也得到了极大的发展 . 据国家统计局网站数据显示，近十年我国国内游客人数（单位：百万）折线图如图所示，则下列结论不正确的是（ ） A. 近十年，城镇居民国内游客人数的平均数大于农村居民国内游客人数的平均数 B. 近十年，城镇居民国内游客人数 方差大于农村居民国内游客人数的方差 C 2012 年到 2019 年，国内游客中城镇居民国内游客人数占比逐年增加 D. 近十年，农村居民国内游客人数的 75% 分位数为 1535 5. 已 知向量 ， ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 4 ，弧长为 的扇形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数 与 的图像有且仅有一个交点，则关于 x 的不等式 的解集为（ ） A B. C. D. 8. 已知双曲线 的左焦点为 ， M 为 C 上一点， M 关于原点的对称点为 N ，若 ，且 ，则 C 的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 . 全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分 . 9. 已知事件 A ， B 满足 ， ，则（ ） A. 若 ，则 B. 若 A 与 B 互斥，则 C. 若 A 与 B 相互独立，则 D. 若 ，则 A 与 B 相互独立 10. 已知函数 的部分图像如图所示，则（ ） A. B. C. 在 上单调递增 D. 若 为偶函数，则 11. 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若 为偶函数， 为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 12. 在棱长为 1 的正方体 中，点 P 满足 ， ， ，则 ( ) A. 当 时， 的最小值为 B. 当 时，有且仅有一点 P 满足 C. 当 时，有且仅有一点 P 满足到直线 的距离与到平面 ABCD 的距离相等 D. 当 时，直线 AP 与 所成角的大小为定值 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 在 的展开式中的 系数为 ，则 _______ ． 14. 在平面直角坐标系中，过 四点的圆的方程为 ______ . 15. 已知椭圆 的右焦点为 F ，以 F 为焦点的抛物线 与椭圆的一个交点为 M ，若 MF 垂直于 x 轴，则该椭圆的离心率为 ______ . 16. 若不等式 对任意 成立 , 则实数 a 的取值范围为 ______ . 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17. 在 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 . （ 1 ） 求 B ； （ 2 ） 若 ， ，求 的面积 . 18. 第五届中国国际进口博览会于 2022 年 11 月 4 日在上海开幕，本次进口博览会共有 145 个国家、地区和国际组织参展，企业商业展延续食品及农产品、汽车、技术装备、消费品、医疗器械及医药保健、服务贸易六大展区设置 . 进口博览会的举办向世界展示了中国扩大开放的决心与自信、气魄与担当 . 为调查上海地区大学生对进口博览会展区设置的了解情况，从上海各高校抽取 400 名学生进行问卷调查，得到部分数据如下表： 男 女 总计 了解 80 不了解 160 总计 200 400 （ 1 ） 完成上述 列联表，并判断是否有 99.9% 的把握认为上海地区大学生对进口博览会展区设置的了解情况与性别有关； （ 2 ） 据调查，上海某高校学生会宣传部 6 人中有 3 人了解进口博览会展区设置情况，现从这 6 人中随机抽取 4 人参加进口博览会志愿服务，设抽取的人中了解进口博览会展区设置情况的人数为 ，求 的分布列与数学期望 . 参考公式： ， . 参考数据： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7 879 10 828 19. 已知数列 的各项均为正数，记 为 的前 n 项和，且 . （ 1 ） 求数列 的通项公式； （ 2 ） 记 ，求数列 的前 n 项和 . 20. 在如图所示的圆柱中， AB ， CD 分别是下底面圆 O ，上底面圆 的直径， AD ， BC 是圆柱的母线， E 为圆 O 上一点， P 为 DE 上一点，且 平面 BCE . （ 1 ） 求证： ； （ 2 ） 若 ，二面角 的正弦值为 ，求三棱锥 的体积 . 21. 已知椭圆 的左、右顶点分别为 A ， B ， P 为 C 上任意一点（异于 A ， B ），直线 AP ， BP 分别交直线 于 M ， N 两点 . （ 1 ） 求证： ； （ 2 ） 设直线 BM 交椭圆 C 于另一点 Q ，求证：直线 PQ 恒过定点 . 22. 已知函数 有两个零点 . （ 1 ） 求实数 a 的取值范围； （ 2 ） 设 是 的两个零点，求证： . 高三数学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 【