2024届黑龙江省哈尔滨市德强高级中学高三上学期期末数学试题（解析版）

2024 届黑龙江省哈尔滨市德强高级中学高三上学期期末数学试题 一、单选题 1 ．已知集合 ， ，则 （      ） A ． B ． C ． D ． 【答案】 B 【分析】 解不等式求出集合 M ，根据集合的交集运算，即可得答案 . 【详解】 解 ，得： ，所以 ， ，所以 . 故选： B. 2 ．已知向量 ， ，若 ，则 （      ） A ． B ． C ． D ． 2 【答案】 C 【分析】 直接利用向量垂直的坐标表示求解即可 . 【详解】 由 ，得 ，则 , 故选： . 3 ．若 ，则 （      ） A ． B ． C ． D ． 【答案】 A 【分析】 运用诱导公式即可得 . 【详解】 . 故选： A. 4 ．双曲线 的焦点到其渐近线的距离为（      ） A ． 4 B ． C ． D ． 2 【答案】 C 【分析】 找到焦点与渐近线，利用点到直线的距离求解即可 . 【详解】 由题可知：双曲线 ，其中一个焦点为 ， 其中一条渐近线为 ， 所以焦点到渐近线的距离为 ， 故选 :C. 5 ．已知贵州某果园中刺梨单果的质量 （单位： ）服从正态分布 ，且 ，若从该果园的刺梨中随机选取 100 个单果，则质量在 的单果的个数的期望为（      ） A ． 20 B ． 60 C ． 40 D ． 80 【答案】 B 【分析】 由正态分布对称性及已知得 ，又质量在 的单果的个数 ，应用二项分布的期望公式求期望 . 【详解】 因为 ( 单位 ) 服从正态分布 ，且 ， 所以 ， 若从该果园的刺梨中随机选取 100 个单果， 则质量在 的单果的个数 ， 所以 . 故选： B 6 ．等比数列 的前 项和为 ， ，则 “ ” 是 “ 对 ， ” 成立的（      ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】 A 【分析】 分析 讨论即可得 . 【详解】 等比数列 的前 项和为 ， ， 当 时，即公比 ，则数列为各项均为正数的递增数列， 则有 ， 成立； 当 时，则 也是各项均为正数的等比数列，此时 ， 则 “ ” 是 “ 对 ， ” 成立的充分不必要条件 . 故选： A 7 ．如图，正三棱柱 中， ， 是 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（      ） A ． B ． C ． D ． 【答案】 B 【分析】 取 中点 ，连接 ， ，易证 ，所以 （或其补角）即为 与 所成角，在 中即可求解 . 【详解】 取 中点 ，连接 ， ， 在正三棱柱中，四边形 为平行四边形， 因为 ， 分别是 ， 的中点， 所以四边形 为平行四边形， 所以 ， 所以 （或其补角）即为 与 所成角， 设 ，则 ， 在正三棱柱 中，因为 是 的中点， 所以 ， ， ， 所以 ，故 ， 在 中， ， 所以，异面直线 与 所成角的余弦值为